棱镜

棱镜是 $p$ 进几何中常用的代数结构, 旨在总结混特征与斜置等现象. 例如, 从完美胚环 $R$ 可以构造完美棱镜 $A_{\text{inf}}(R)$, 它其中有两个 “互相倾斜” 的理想 $(p)$ 和 $(\xi )$, 此棱镜模这两个理想的商分别是 $R^{♭}$ 和 $R$, 前者是后者的斜置.

以棱镜为基础, 一方面可以定义棱镜上同调, 它能够联系之前许多中上同调理论, 例如平展上同调, 晶体上同调乃至母题上同调; 另一方面, 许多 $p$ 进 Galois 表示论中的构造, 例如 Breuil–Kisin 模, $(\varphi ,\Gamma )$-模等也都与棱镜 $F$-晶体有关, 因此棱镜在 $p$ 进 Galois 表示论中也有广泛应用.

1定义

定义 1.1 (棱镜). 棱镜是三元组 $(A,\delta ,I)$, 其中

•	$(A,\delta )$ 是 $\delta$-环, 此时记 $\varphi :A\to A$ 为映射 $x\mapsto x^p+p\delta (x)$, 称为 Frobenius 映射.
•	$I$ 是 $A$ 的理想, 同时是 $A$ 上的线丛, 满足 $p\in I+\varphi (I)A$.
•	$A$ 是 $(p,I)$-导出完备环.

若无歧义, 通常将棱镜简写为 $(A,I)$ 或 $A$.

定义 1.2 (棱镜的性质).

•	完美棱镜是映射 $\varphi$ 为同构的棱镜.
•	可定向棱镜是 $I$ 为主理想的棱镜, 它的定向指 $I$ 的生成元.
•	有界棱镜是 $p^{\infty }$-挠元有界的棱镜.
•	晶体棱镜是 $(p)=I$ 的棱镜.

定义 1.3 (棱镜态射). 两棱镜 $(A,I)$, $(B,J)$ 之间的态射是 $\delta$-环同态 $A\to B$, 满足 $BI\subset J$. 可以证明, 这等价于 $BI=J$.

2例子

•	$({\mathbb{Z}}_p,\delta (x)=\frac{x-x^p}{p},(p))$ 是棱镜. 更一般地, 对任意 $p$-无挠 $\delta$-环 $(A,\delta )$, $(A,\delta ,p)$ 都是棱镜, 这些即是上述的晶体棱镜. 以此为基棱镜的棱镜上同调对应于晶体上同调.

•	对完美胚环 $R$, $(A_{\text{inf}}(R),(\xi ))$ 是棱镜, 事实上完美胚环等价于完美棱镜.

•	对离散赋值域扩张 $K/{\mathbb{Q}}_p$, 记 $W(k)$ 为它的最大非分歧子扩张, ${\mathcal{O}}_K$ 为它的整数环, $\pi$ 为此整数环的素元, 则有满同态 $W(k)[[u]]\to {\mathcal{O}}_K$, 记它的核为 $I$, 则有 $(W(k)[[u]],I)$ 为棱镜. 此环与理想在 Breuil–Kisin 模的定义中会出现.

3性质

4相关概念

术语翻译

棱镜 • 英文 prism • 法文 prisme (m) • 拉丁文 prisma (n) • 古希腊文 πρίσμα (n)