方程

方程是指含有未知量的等式. 研究方程的主要目标是找到方程的解, 也就是使等式成立的未知量的值. 例如, 等式$$x^2+x+1=0,x\in \mathbb{C}$$就是一个方程, 它含有未知量 $x$, $x$ 被要求处在复数域 $\mathbb{C}$ 中.

方程的未知量可以是数, 也可以是函数等, 可据此将方程分为以下几类. 未知量是数时, 方程大致有代数方程和超越方程两类. 未知量是函数时, 方程大致有微分方程和积分方程两类, 而微分方程又可以进一步细分: 一元函数的微分方程称为常微分方程, 多元函数的微分方程称为偏微分方程.

1定义

定义 1.1 (方程). 一个 (或一组) 方程是等式$$F_i((u_j{)}_{j\in J})=G_i((u_j{)}_{j\in J}),\forall i.$$其中 $\{u_j{\}}_{j\in J}$ 是某个集合 $V$ 中的元素, $F_i,G_i$ 是某个映射 $V\to W$.

这里的 $u_j$ 即被称为未知量.

注 1.2. 这里的集合可以是数构成的集合 (例如整数, 实数, 复数等), 也可以是函数构成的集合 (例如 ${\mathbb{R}}^n$ 中某个开集 $\Omega$ 上所有光滑函数).

定义 1.3 (解). 对上述方程, 它的一组解是集合 $V$ 中的一组元素 $\{v_j{\}}_{j\in J}$, 使得等式$$F_i((v_j{)}_{j\in J})=G_i((v_j{)}_{j\in J}),\forall i.$$成立.

方程的解集是它所有解构成的集合, 即$$\{\{v_j{\}}_{j\in J}\in V^J|F_i((v_j{)}_{j\in J})=G_i((v_j{)}_{j\in J}),\forall i\}.$$

2分类

数的方程

数的方程指未知量是数 (例如整数, 实数, 复数) 的方程.

代数方程

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定义 2.1. 如果上述定义 1.1 中映射 $F_i$ 均是多项式函数, 则方程被称为代数方程.

例如方程$$x^2+x+1=0,(x\in \mathbb{C})$$就是一个代数方程.

代数方程与域扩张理论有紧密的联系, 在原有的数域中添加方程的解就会得到域扩张.

超越方程

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定义 2.2. 如果上述定义 1.1 中映射 $F_i$ 有些是除多项式函数外的其它函数 (例如指数函数, 对数函数, 三角函数等), 则方程被称为超越方程.

例如方程$$\tan (x)=x,(x\in \mathbb{C})$$就是一个超越方程.

函数的方程

函数的方程指未知量是函数的方程.

常微分方程

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定义 2.3. 如果未知量是一元函数, 且在等式中仅有函数以及函数的导数出现则将方程称为常微分方程. 例如方程$$x^{\prime \prime }+x=0,(x\in C^{\infty }(\mathbb{R}))$$就是一个常微分方程.

偏微分方程

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定义 2.4. 如果未知量是多元函数, 且在等式中仅有函数以及函数的偏导数出现则将方程称为偏微分方程. 例如方程$$\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i^2}=0,(f\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}))$$就是一个偏微分方程.

积分方程

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定义 2.5. 如果未知量是可积函数, 且在等式中仅有函数以及函数在某区域上的积分出现则将方程称为积分方程. 例如方程$${\int }_0^{t}f(\tau )d\tau =1,\forall t\in \mathbb{R},(f\in C^{\infty }(\mathbb{R}))$$就是一个积分方程.

其它分类方法

利用方程的另一些特征也可以将方程分类, 例如定义 1.1 中, 当未知量所处空间 $V$ 为线性空间, 且 $F_i,G_i$ 均为线性函数时, 方程被称为线性方程, 否则被称为非线性方程.

术语翻译

方程 • 英文 equation • 德文 Gleichung (f) • 法文 équation (f) • 拉丁文 aequatio (f) • 古希腊文 ἐξίσωσις (f)