用户: 数学迷/加元环

加元环是代数数论中的重要概念. Dustin Clausen 在其文章 A K-theoretic approach to Artin maps 中说, 加元环可推广到 $\mathbb{Z}$ 上本质有限型的环上, 即对这样的环 $R$, 可以定义 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-$R$-代数 ${\mathbb{A}}_R\in {\mathsf{D}}^{\ge 0}({\mathsf{L}\mathsf{C}\mathsf{A}}_{\aleph })$ 使得在 $\mathsf{D}({\mathsf{L}\mathsf{C}\mathsf{A}}_{\aleph })$ 中$$\mathrm{cofib}(R\to {\mathbb{A}}_R)=\underline{\mathrm{Hom}}({\omega }_R,\mathbb{T}).$$这里 ${\mathsf{L}\mathsf{C}\mathsf{A}}_{\aleph }$ 指第二可数的局部紧交换群组成的加性范畴, $\mathsf{D}({\mathsf{L}\mathsf{C}\mathsf{A}}_{\aleph })$ 指 $\mathsf{D}(\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b})$ 中各阶同调属于 ${\mathsf{L}\mathsf{C}\mathsf{A}}_{\aleph }$ 者组成的满子范畴, ${\omega }_R={\omega }_{R/\mathbb{Z}}$ 指对偶复形, $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 指圆. Clausen 写其文章时还没有凝聚态数学, 只有迫真方法定义这个 $\mathsf{D}({\mathsf{L}\mathsf{C}\mathsf{A}}_{\aleph })$; 文中内容是他考虑凝聚态数学的一个动机.

构造是这样的: 首先定义 ${\mathbb{A}}_{\mathbb{Z}}=\mathbb{R}$. 其次如果 ${\mathbb{A}}_R$ 已有定义, 则定义 ${\mathbb{A}}_{R[x]}$ 为凝聚态 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-$R[x]$-代数范畴中的如下拉回: $${\mathbb{A}}_{R[x]}{\mathbb{A}}_R[x]R((x^{-1})){\mathbb{A}}_R((x^{-1}))$$注意这里底下两项并不属于 $\mathsf{D}({\mathsf{L}\mathsf{C}\mathsf{A}}_{\aleph })$, 但它们的余纤维属于, 因为 $\mathrm{cofib}(R\to {\mathbb{A}}_R)=\underline{\mathrm{Hom}}({\omega }_R,\mathbb{T})$ 各阶同调是紧的. 然后对于满射 $R\twoheadrightarrow R^{\prime }$ 直接定义 ${\mathbb{A}}_{R^{\prime }}={\mathbb{A}}_R{\otimes }_R{R}^{\prime }$. 最后对于乘性子集 $S\subseteq R$, 由于 ${\omega }_{S^{-1}R}=S^{-1}{\omega }_R$, 有自然的限制映射 $\underline{\mathrm{Hom}}({\omega }_{S^{-1}R},\mathbb{T})\to \underline{\mathrm{Hom}}({\omega }_R,\mathbb{T})$, 于是定义 ${\mathbb{A}}_{S^{-1}R}$ 为复合映射$$\underline{\mathrm{Hom}}({\omega }_{S^{-1}R},\mathbb{T})[-1]\to \underline{\mathrm{Hom}}({\omega }_R,\mathbb{T})[-1]\to R\to S^{-1}R$$的余纤维.

不难验证其良定义, 对有限域给出零环, 对整体域给出通常的加元环. 学过一些凝聚态数学的读者可以发现个中奥妙: ${\mathbb{A}}_R$ 和固态解析环理论中的 $B_{\infty }$ 类似, 有一种在无穷远处取形式邻域的感觉; 与那里不同的是, 这里把算术无穷远即 Archemedes 赋值也算进来了. Apprentice 听完我介绍之后给出如下评注: ${\mathbb{A}}_{\mathbb{Z}}$ 只有 $\mathbb{R}$ 是因为整数的 $p$ 进赋值总是有界的, 只有 Archemedes 赋值可以趋于无穷; ${\mathbb{A}}_{\mathbb{Z}[1/p]}$ 就是 $\mathbb{R}\times {\mathbb{Q}}_p$ 了. 这里的 $\underline{\mathrm{Hom}}({\omega }_R,\mathbb{T})$ 看似奇怪, 实际上是一种 $f_{!}R[1]$, 自然映射 $\underline{\mathrm{Hom}}({\omega }_R,\mathbb{T})[-1]\to R$ 则是 $f_{!}R\to f_{\ast }R$, 其中 $f$ 是复合映射 $\mathrm{Spec}R\to \mathrm{Spec}\mathbb{Z}\to \text{“}\overline{\mathrm{Spec}\mathbb{Z}}\text{”}$.

Clausen 认为, 对一些不变量如 $K$ 理论, 我们可以构造其紧支对应物, 在 $R$ 上取值定义为不变量本身在 $R$ 上的值打到在 ${\mathbb{A}}_R$ 上的值的纤维, 即$$K_c(R)=\mathrm{fib}(K(R)\to K({\mathbb{A}}_R));$$这样对于整体域 $F$, $${\pi }_0(K_c(F))=\mathrm{coker}({\pi }_1(K(F))\to {\pi }_1(K({\mathbb{A}}_F)))={\mathbb{A}}_F^{\times }/F^{\times }$$就是类域论的自守侧. 以此观之, 加元环的 Pontryagin 自对偶性应是一种凝聚对偶. 需要注意这里的 $K({\mathbb{A}}_R)$ 其实不太合理, 要做解析化才会合理. 但这个问题在 ${\pi }_1$ 上不出现, 所以 Clausen 得以不发展凝聚态数学而写出此文.

Clausen 这篇文章是用 $K$ 理论解释类域论, 以上是他对自守侧的解释. Galois 侧我还没看. 这个构造是个大统一, 应试图观察算术对偶理论中 Archemedes 位点的手动处理能不能用它重写.