用户: 遗忘的左伴随/代数几何/为什么要研究代数几何?

1为什么要使用概形?

首先来解释一下为什么需要引入概形, 这需要回顾一下在概形出现之前, 人们是如何做代数几何的.
这个时候, 人们通过考虑代数簇来研究代数几何, 比如仿射簇, 即 $X=\{(x_1,\cdots ,x_n)\in k^n:P_i(x_1,\cdots ,x_n)=0\}$, 其中 $P_i$ 为 $n$ 元多项式, 很快人们发现需要选定一个良好的域, 不然这套理论会变得非常糟糕, 因此经常带有假设 $k=\bar{k}$, 并且有经典意义下的 Zariski 拓扑, 而后将经典意义下的仿射代数簇粘起来便得到了代数簇 ¹. 但是在学习经典代数簇时会遇到各种各样的问题.

问题

1.	$k$ 不是代数闭域时, 考虑 $\mathbb{R}$ 上 $x^2+1=0$ 以及 $x-1=x$, 这两个解均为 $\varnothing$, 我们很清楚这两个空集是不一样的, 但是在 $\mathbb{R}$ 上无法进行区分. 因此希望找到一套语言对其进行区分 (形式化的说, 没有一套好的 Nullstellensatz 对其进行区分).
2.	希望使用一种更严格, 更严谨的方式来处理 “重数”, 即 $x=0$ 以及 $x^2=0$ 在 $k$ 中无法直接观测重数, 但是经典代数簇语言无法进行刻画.
3.	“一般的” 概念该如何解释? 比如说, 一族圆锥曲线 $x^2+y^2-P(t)=0$, 其中 $P$ 为多项式, 我们希望在 $P$ 取一般的多项式时, 所得到的圆锥曲线是非退化的 2.
4.	算术方面: 经典的语言总是域上的情况, 现在希望考虑整系数的情况.

Grothendieck 在上世纪五十年代末通过概形理论解决了以上的所有问题, 并且重构了整个代数几何的基础, 更为了不起的是通过概形意识到可以将几何与算术的问题统一的进行处理.

2为什么要使用平展上同调?

在代数拓扑中, 我们已经学到奇异同调与奇异上同调等相关不变量, 以及其所具有的文明性质, e.g.:

定理 2.1 (Poincaré 对偶). 设 $X$ 是紧可定向 $n$ 维流形, $G$ 是 Abel 群, 有同构$$(-)⌢[X]:H^k(X;G)\simeq H_{n-k}(X;G).$$

定理 2.2 (Künneth 公式). 设 $X$,$Y$ 是拓扑空间, 考虑域系数上的奇异上同调, 若我们对 $H^i(X)$ 都有有限生成, 我们有$$H^n(X\times Y)\simeq \underset{p+q=n}{⨁}{H}^p(X)\otimes H^q(Y).$$

定理 2.3 (奇异常值比较). 设 $X$ 是局部可缩空间, 对任何交换环 $G$ 有典范同构$$H_{\text{sing}}^i(X,G)\cong H^i(X,\underline{G}).$$

一个很自然的问题是, 我们能不能在代数几何中得到这样的东西呢? 自然而然我们可能会考虑已有的 Zariski 拓扑, 但 Zariski 拓扑太过松, 有以下问题:

定理 2.4. 对不可约空间 $X$, 常值层 $A$, 若 $i\ge 0$ 则 $H^i(X,A)=0$.

于是我们为了定义一个类似奇异上同调这样含有大量信息, 具有良好性质的上同调理论 (实际上可以归结为 Weil 上同调), 于是平展上同调应运而生.
另一问题在于, 我们如何定义一个具有代数几何意味的上同调理论, 同时不会出现以上的不良情况, 我们需要相比 Zariski 拓扑添入更多的开集, 但是代数几何所使用的 Zariski 拓扑抽象至极, 甚至不能要求具有基本的 $T_2$, 所以我们不能直接从拓扑意义上的添入开集, 因此在 Grothendieck 的伟大思想下, 考虑一种由态射定义的拓扑, 即 Grothendieck 拓扑:

定义 2.5 (景). 景 (site) 是二元资料 $(\mathcal{C},\mathrm{Cov}(\mathcal{C}))$, 其中 $\mathcal{C}$ 是 1-范畴,$\mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 是形如 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$, 其中 $U_i,U\in \mathrm{Ob}\mathcal{C}$ 的态射构成的类, 满足以下条件:

1.	对同构 $V\to U$, 我们有 $\{V\to U\}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.
2.	如果 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$, 且对于每个 $i\in I$ 有 $\{U_{ij}\to U_i{\}}_{j\in I_i}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$, 那么, 我们有 $\{U_{ij}\to U{\}}_{i\in I,j\in I_i}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.(类似于开集的并)
3.	对 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 以及任意映射 $V\to U$ 有纤维积 $U_i\underset{U}{\times }V$ 存在, 且 $\{U_i\underset{U}{\times }V\to V{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.(类比于开集的交).

注 2.6. 由以上例子, 我们把 $\mathcal{C}$ 中的对象称为开集,$\mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 中的元素称为覆盖.

在其中取 $\mathrm{Cov}$ 为平展态射, 我们即可得到平展景. 由此允我们得到有平展态射作为局部坐标的拓扑. 这使得更多的信息得以保留, 几何对象可以被定义.
同时我们有以下定理

定理 2.7. 对一个 $\mathbb{C}$ 上的非奇异代数簇 $X,X^{\mathrm{an}}$ 为其解析化$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\bullet }(X,A)\simeq H^{\bullet }(X^{\mathrm{an}},A)$$其中 $A$ 是合适的系数.

以及平展上同调同样由这样良好的结果

定理 2.8 (Künneth). 考虑纤维积若 $\Lambda$ 挠且我们有 $f,g$ 紧合的条件, 则有$$R{f}_{\ast }E\underset{\Lambda }{\stackrel{\mathrm{L}}{\otimes }}R{g}_{\ast }K\simeq R{h}_{\ast }(p^{-1}E\underset{\Lambda }{\stackrel{\mathrm{L}}{\otimes }}{q}^{-1}K).$$

定理 2.9 (Poincaré 对偶). 设 $X$ 是可分闭域 $k$ 上的纯 $d$ 维光滑紧化概形, 对于 $\mathcal{F}\in \text{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 有典范同构$${\mathrm{Ext}}_{\Lambda }^{2d-q}(\mathcal{F},\Lambda (d))\simeq {\mathrm{Hom}}_{\Lambda }(H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F}),\Lambda ).$$若 $\mathcal{F}\in \mathrm{Loc}(X,\Lambda )$, 则有同构: $$H^{2d-q}(X,{\mathcal{H}\mathrm{om}}_{\Lambda }(\mathcal{F},\Lambda (d)))\simeq {\mathrm{Hom}}_{\Lambda }(H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F}),\Lambda ).$$其中 $\Lambda$ 为挠系数.

当然, 这一步现在已经被包含在了六函子理论之内, 我们将在外篇去描述它.
另一个动机在于 Weil 猜想的需求:

猜想 2.10 (Weil). 设 $X$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上 $n$ 维光滑紧合几何整的簇, 设$$S_X(t)=\exp \left(\sum _{n>0}\frac{\#X({\mathbb{F}}_{q^n})}{n}{t}^n\right),$$则

1.	函数 $S_X(t)$ 是有理函数, 即 $S_X(t)={\prod }_{i=0}^{2n}(-1{)}^{i+1}{S}_i(t)$, 其中 $S_i$ 是满足一定条件的整系数多项式.
2.	满足函数方程 $S_X(q^{-n}{t}^{-1})=\pm q^{nE/2}{t}^E{S}_X(t)$ 其中 $E$ 为 $X$ 的 Euler 示性数.
3.	所有零点和极点的绝对值为 $q^{j/2}$ 其中 $j\in \mathbb{Z}$.
4.	若 $X$ 提升为代数整数环 $R\subset \mathbb{C}$ 上的光滑射影簇 $Y$, 则对于 $i=0,\cdots ,2n$, 流形 $Y(\mathbb{C})$ 的 Betti 数为 $S_i(t)$ 的次数为 $b_i$

证明. Dwork[1] 使用 $p$ 进分析的方法成功证明了 1.
Grothendieck[2] 证明了 2.
Delign[3] 证明了 3. 和 4.

$\square$

证明 Weil 猜想的过程中, 需要使用合适的上同调理论通过迹公式来进行证明. 于是 Grothendieck-Lefshetz 迹公式成为了 Weil 猜想的主要定理之一.

定理 2.11 (Grothendieck-Lefshetz 迹公式). 设 $\Lambda$ 为有限环且 $X$ 是有限域 $k$ 上的代数簇, 设 $K\in D_{\mathrm{perf}}(X,\Lambda )$, 且 $\Lambda$ 的基数在 $k$ 中可逆, 则$$\mathrm{Tr}({\pi }_X^{\ast }{\mid }_{R{\Gamma }_c(X_{\overline{k}},K{\mid }_{X_{\overline{k}}})})=\sum _{x\in X(k)}\mathrm{Tr}({\pi }_x{\mid }_{K_{\overline{x}}})\in {\Lambda }^{♮}$$其中左侧为整体 Lefshetz 数, 右侧为局部 Lefshetz 数.

这就是我们需要发展平展上同调的原因.

3笔记顺序

内篇: 第一部分

我们将先介绍一些经典的概形论, 也就是代数几何部分, 这与绝大多数的教材一致, 当然我们也会做出一些改动, 比如说在层论中我们将讲述景 (或者说 Grothendieck 拓扑) 以及景上的层, 此外我们还将额外讲述纤维范畴, 下降, 一点点形变理论以及 Grothendieck 构造等内容.

内篇: 第二部分

在第二部分我们将沿着两段主线来讲述平展上同调理论, 首先, 我们的目的是给出一种在抽象结构上定义出上同调的方法, 这需要引入景上的层以及层范畴 (即 topos, 在本文中我们遵循香蕉空间的译名将其称为意象), 而后定义出意象上同调 (或者说是景上的上同调) 理论, 这样选定平展景时所得到的上同调就是平展上同调. 而后将接续我们所说的另一条动机.

外篇: 六函子

首先我们将给出六函子的前置知识, 主要是 $\infty$-范畴理论, 因为我们在工作时需要使用到导出 $\infty$-范畴以及若干 $\infty$-范畴语言, 当然读者可以选择跳过这一部分.
接下来我们给出六函子理论, 它是一种在抽象结构上通过六个函子 $(f^{\ast },f_{\ast },\otimes ,\underline{\mathrm{Hom}},f_{!},f^{!})$ 定义出同调以及上同调理论, 并且可以将前文中我们所期望的好性质都移植到这些上同调理论之上的一种理论, 抽象六函子理论由 [LZ12a] 首次提出,[Ma22] 中得到发展, 而后在 [SixFunctors] 中完善, 笔记主要是根据这三份工作进行书写.

外篇: 可能是 pro-平展

外篇: 可能是钻石

外篇: 可能是导出代数几何

脚注

1.	^ 比方说射影代数簇, 射影代数簇的好处是可以使用齐次多项式进行描述
2.	^ 比如在有限域 ${\mathbb{F}}_p$ 上工作时, 由于没有足够多的点, 这个问题就显得不那么好解决.

参考文献

[1]	Dwork, B. (1960). On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. American Journal of Mathematics, 82(3), 631-648.
[2]	Grothendieck, A. (1958, August). The cohomology theory of abstract algebraic varieties. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians (pp. 103-18).
[3]	Deligne, P. (1974). La conjecture de Weil. I. Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques, 43, 273-307.
[SixFunctors]	Peter Scholze (2022). Six Functor Formalisms. lecture notes.
[Ma22]	Mann, L. (2022). A $p$-Adic 6-Functor Formalism in Rigid-Analytic Geometry. arXiv preprint arXiv:2206.02022.
[LZ12a]	Liu, Y., & Zheng, W. (2012). Enhanced six operations and base change theorem for higher Artin stacks. arXiv preprint arXiv:1211.5948.
[HTT]	Lurie, J. (2009). Higher topos theory. Princeton University Press.
[HA]	Lurie, J. (2017). Higher Algebra.
[Kerodon]	Lurie, J. (2018). Kerdon.
[Land]	Land, M. (2021). Introduction to Infinity-categories. Springer Nature.