六函子理论

六函子理论是层论中的一种结构, 在代数几何中应用广泛. 给定一类数学对象, 视为空间, 则一种关于这类对象的六函子理论由以下信息构成: 给每个空间 $X$ 配以范畴 $\mathcal{D}(X)$, 视为 $X$ 上某种 “层” 的范畴, 并要求有以下三对伴随函子, 总共六类函子:

•	对空间的态射 $f:X\to Y$, 有一对伴随函子$$f^{\ast }:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X)⊣f_{\ast }:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y),$$分别称为拉回层和前推层函子, 或 “上星”、“下星” 函子.

•	对某些较良好的态射 $g:X\to Y$, 有一对伴随函子$$g_{!}:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y)⊣g^{!}:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X),$$分别称为反常前推层和反常拉回层函子, 或 “下叹”、“上叹” 函子.

•	对空间 $X$ 及对象 $a\in \mathcal{D}(X)$, 有一对伴随函子$$-\otimes a:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(X)⊣\mathcal{H}om(a,-):\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(X),$$分别称为张量积层和同态层函子.

并且, 这些函子还需满足若干性质. 给定上述信息, 则可以形式地将层论中的若干结论, 例如 Poincaré 对偶等, 推广到新定义的六函子理论中.

给定一种六函子理论, 就能形式地对空间定义四种同调、上同调理论. 记 $p:X\to \ast$ 是空间 $X$ 到终对象 $\ast$ 的态射, $1\in \mathcal{D}(\ast )$ 是张量积的单位, 则可以抽象定义

•	$H^{\bullet }(X)=p_{\ast }{p}^{\ast }(1)$ 为 $X$ 的普通上同调.

•	$H_{\mathrm{c}}^{\bullet }(X)=p_{!}{p}^{\ast }(1)$ 为 $X$ 的紧支上同调.

•	$H_{-\bullet }^{\mathrm{BM}}(X)=p_{\ast }{p}^{!}(1)$ 为 $X$ 的 Borel–Moore 同调.

•	$H_{-\bullet }(X)=p_{!}{p}^{!}(1)$ 为 $X$ 的普通同调.

这些概念是代数拓扑中相应概念的推广.

1定义

以下定义来自 [Scholze 2022].

定义 1.1 (六函子理论). 设 $\mathcal{C}$ 是 $(\infty ,1)$-范畴, 具有有限极限. 设 $\mathsf{E}$ 是 $\mathcal{C}$ 中一族态射, 包含所有同构, 并被复合、拉回保持. 记 $\mathsf{Span}(\mathcal{C},\mathsf{E})$ 为伸展范畴, 其中从对象 $X$ 到 $Y$ 的态射形如$$ZXY\text{ ,}fg$$其中 $g\in \mathsf{E}$. 将 $\mathsf{Span}(\mathcal{C},\mathsf{E})$ 视为对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴, 其幺半结构由 $\mathcal{C}$ 的积给出.

则关于 $(\mathcal{C},\mathsf{E})$ 的六函子理论是指松对称幺半 $(\infty ,1)$-函子$$\mathcal{D}:\mathsf{Span}(\mathcal{C},\mathsf{E})⟶(\infty ,1)\text{-}\mathsf{Cat},$$满足以下条件:

•	对 $\mathcal{C}$ 中态射 $f:X\to Y$, 记$$f^{\ast }=\mathcal{D}\left(XYXf{1}_X\right):\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X),$$则 $f^{\ast }$ 具有右伴随 $f_{\ast }:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y)$.

•	对 $\mathsf{E}$ 中态射 $g:X\to Y$, 记$$g_{!}=\mathcal{D}\left(XXY{1}_{X}g\right):\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y),$$则 $g_{!}$ 具有右伴随 $g^{!}:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X)$.

•

对 $X\in \mathcal{C}$, 记$$\otimes :\mathcal{D}(X)\times \mathcal{D}(X)\stackrel{⊠}{⟶}\mathcal{D}(X\times X)\stackrel{{\Delta }^{\ast }}{⟶}\mathcal{D}(X),$$其中 $⊠$ 是松对称幺半 $(\infty ,1)$-函子给出的态射, $\Delta :X\to X\times X$ 是对角态射. 则对每个 $a\in \mathcal{D}(X)$, 函子 $-\otimes a:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(X)$ 具有右伴随 $\mathcal{H}om(a,-):\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(X)$.

在上述定义中,

•	$(\mathcal{C},E)$ 也称为几何设定.

•	若函子 $\mathcal{D}$ 不满足上述三个存在右伴随的条件, 则也称之为三函子理论.

•	若 $\mathcal{D}$ 穿过 ${\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}}$, 则称其可表现.

定义 1.2. 令 $\mathcal{D}$ 为 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论.

•

函子 $\mathcal{D}$ 与 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Span}(\mathcal{C},E)$ 的复合可提升为函子$${\mathcal{D}}^{\ast }:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}⟶(\infty ,1)\text{-}{\mathsf{Cat}}^{\otimes },$$其中右边为对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴之 $(\infty ,1)$-范畴. 换言之, 对每个 $X\in \mathcal{C}$ 而言, $\mathcal{D}(X)$ 都是对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴. 这是因为每个 $X$ 通过对角态射视为 $(\mathcal{C},\times )$ 中的交换余幺半对象, 从而由上述复合函子映到右边的交换幺半对象.

•	记 ${\mathcal{C}}_E$ 为 $E$ 所生成的宽子范畴, 则有函子 $\mathcal{D}$ 与 ${\mathcal{C}}_E\to \mathsf{Span}(\mathcal{C},E)$ 的复合$${\mathcal{D}}_{!}:{\mathcal{C}}_E⟶(\infty ,1)\text{-}\mathsf{Cat}.$$

2性质

基变换、投影公式

3构造

通过分解

定义 3.1. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, 则 $E$ 中合适的分解是指由 $E$ 中态射所构成的 $I,P\subseteq E$ 给出的二元组 $(I,P)$, 使得:

1.	$I$ 和 $P$ 均包含恒等态射并且在复合与拉回下封闭;
2.	对于任意 $f\in E$, $f$ 均能分解为 $f=p\circ i$, 其中 $p\in P$ 且 $i\in I$;
3.	$I$ 和 $P$ 在 $\mathcal{C}$ 中是右可消的;
4.	存在 $n\ge -2$, 使得每个态射 $f\in I\cap P$ 都是 $n$-截断的.

定理 3.2. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, 令 $(I,P)$ 为 $E$ 的合适的分解并且令 ${\mathcal{D}}_0:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{CMon}$ 为满足以下性质的函子:

1.	对于 $I$ 中的态射 $j:U\to X$, 沿 $j$ 的拉回 $j^{\ast }$ 具有左伴随 $j_{!}:\mathcal{D}(U)\to \mathcal{D}(X)$ 满足紧合基变换以及投影公式, 即 ∘ 对于任意 $\mathcal{C}$ 中的态射 $g:X^{\prime }\to X$, 考虑拉回图表$$U^{\prime }U{X}^{\prime }X{g}^{\prime }{j}^{\prime }jg$$总是有自然的同构 $j_{!}^{\prime }{g}^{\prime !}\stackrel{\sim }{\to }{g}^{\ast }{j}_{!}:\mathcal{D}(U)\to \mathcal{D}(X^{\prime })$; ∘ 对于每个 $M\in \mathcal{D}(X)$ 以及 $N\in \mathcal{D}(U)$, 有自然同构 $j_{!}(j^{\ast }M\otimes N)\stackrel{\sim }{\to }M\otimes j_{!}N$.
2.	对于 $P$ 中的态射 $f:Y\to X$, 沿 $f$ 的拉回 $f^{\ast }$ 具有右伴随 $f_{\ast }:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X)$ 满足紧合基变换以及投影公式, 即 ∘ 对于任意 $\mathcal{C}$ 中的态射 $g:X^{\prime }\to X$, 考虑拉回图表$$U^{\prime }U{X}^{\prime }X{g}^{\prime }{j}^{\prime }jg$$有自然的同构 $g^{\ast }{f}_{\ast }\stackrel{\sim }{\to }{g}^{\ast }{j}_{!}$; ∘ 对于每个 $M\in \mathcal{D}(X)$ 以及 $N\in \mathcal{D}(Y)$, 有自然同构 $M\otimes f_{\ast }N\stackrel{\sim }{\to }{f}_{\ast }(f^{\ast }M\otimes N)$;
3.	对于每个 $\mathcal{C}$ 中的拉回图表$$U^{\prime }U{X}^{\prime }X{f}^{\prime }{j}^{\prime }j\in If\in P$$有自然同构 $j_{!}{f}_{\ast }^{\prime }\stackrel{\sim }{\to }{f}_{\ast }{j}_{!}^{\prime }:\mathcal{D}(U^{\prime })\to \mathcal{D}(X)$

此时 ${\mathcal{D}}_0$ 可延拓为三函子理论 $\mathsf{Span}(\mathcal{C},E)\to (\infty ,1)\text{-}\mathsf{Cat}$.

延拓

可以通过以下操作将范畴 $\mathcal{C}$ 上的六函子理论延拓到其意象上.

定义 3.3. 令 $\mathcal{D}$ 为 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论, 则

•	称 $\mathcal{C}$ 中的筛 $\mathcal{U}$ 为 (万有) ${\mathcal{D}}^{\ast }$-覆盖是指 ${\mathcal{D}}^{\ast }$ 作为预层可沿 $\mathcal{U}$ (万有) 下降;

•

称 ${\mathcal{C}}_E$ 中的筛 $\mathcal{U}\subseteq ({\mathcal{C}}_E{)}_{/U}$ 为小 ${\mathcal{D}}^{!}$-覆盖是指其由小集合 $(U_i\to U)$ 生成, 且作为预层 ${\mathcal{D}}^{!}$ 沿 $\mathcal{U}$ 可下降. 称 $\mathcal{U}$ 为万有 ${\mathcal{D}}^{!}$-覆盖是指对于每个 $\mathcal{C}$ 中态射 $V\to U$, 都有 $(U_i{\times }_{U}V\to V{)}_i$ 生成小 ${\mathcal{D}}^{!}$-覆盖.

当 $\mathcal{D}$ 自明时, 也简写为 $\ast$-覆盖和 $!$-覆盖.

定义 3.4. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, $\mathcal{D}$ 为其上六函子理论且 $S\subseteq \mathcal{C}$ 为一族态射, 令 $f:X\to Y$ 为 $\mathcal{C}$ 中态射, 则称:

•	$f$ 在 $S$ 中 ${\mathcal{D}}^{!}$-局部于来源, 是指存在 $X$ 的万有小 ${\mathcal{D}}^{!}$-覆盖, 使其内元素复合上 $f$ 后都在 $S$ 中.

•	$f$ 在 $S$ 中 ${\mathcal{D}}^{!}$-局部于目标, 是指存在 $Y$ 的万有小 ${\mathcal{D}}^{!}$-覆盖, 使其内元素沿 $f$ 的拉回都在 $S$ 中.

当 $\mathcal{D}$ 自明时, 也简写为 $!$-局部.

定理 3.5. 令 $\mathcal{D}$ 为 $(\mathcal{C},E)$ 为可表现六函子理论. 设 $\mathcal{C}$ 带有次典范拓扑, 满足 ${\mathcal{D}}^{\ast }$ 关于该拓扑是 $(\infty ,1)$-层, 并记 $\mathcal{X}=\mathsf{Sh}(\mathcal{C})$ 为相应的 $(\infty ,1)$-意象. 则存在 $\mathcal{X}$ 中的一族态射 $E^{\prime }$ 满足以下性质:

1.	$\mathcal{C}\hookrightarrow \mathcal{X}$ 诱导出几何设定间的态射 $(\mathcal{C},E)\to (\mathcal{X},E^{\prime })$ 且 $\mathcal{D}$ 能延拓到 $(\mathcal{X},E^{\prime })$ 上.
2.	$E^{\prime }$ 是 $\ast$-局部于来源的, 即令 $f:X\to Y$ 为 $\mathcal{X}$ 中态射, 若其关于 $\mathcal{C}$ 中对象的拉回均在 $E^{\prime }$ 中, 则其自身也在 $E^{\prime }$ 中.
3.	$E^{\prime }$ 是 $!$-局部的, 即给定 $f:X\to Y$, 若其在 $E^{\prime }$ 上是 $!$-局部于来源或者目标的, 则 $f\in E^{\prime }$.
4.	对于任意 $Y\in \mathcal{C}$, 任意 $E^{\prime }$ 中态射 $f:X\to Y$ 都在 $E$ 上 $!$-局部于来源.

类似的结果在 $\mathcal{C}$ 具有超完备的次典范拓扑时可以推广到超完备层上.

4例子

例 4.1 (凝聚态生象上的六函子理论). 固定正则基数 $\kappa$, 令 $R$ 为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环, 则在 ($\kappa$-小) 投射有限集范畴 $\mathsf{ProFin}$ 上可以如下构造六函子理论: 考虑图表$$\{\ast \}{\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}}\mathsf{CAlg}.\iota R$$则右 Kan 扩张给出函子 ${\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{CAlg}$, $S\mapsto R(S)={\prod }_{x\in S}R$, 而后利用归纳完备化的泛性质以及 $\mathsf{Pro}(\mathcal{C}{)}^{\mathrm{op}}\simeq \mathsf{Ind}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}})$ 可延拓出函子$${\mathsf{ProFin}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{CAlg}$$而后利用函子 $\mathsf{Mod}:\mathsf{CAlg}\to (\infty ,1)\text{-}\mathsf{Cat},R\mapsto R\text{-}\mathsf{Mod}$, 给出函子 $\mathcal{D}(-,R):{\mathsf{ProFin}}^{\mathrm{op}}\to (\infty ,1)\text{-}\mathsf{Cat}$, $S\mapsto \mathcal{D}(S,\Lambda )=R(S)\text{-}\mathsf{Mod}$. 取 $E$ 和 $P$ 为全体态射, 而 $I$ 为全体同构, 根据定理 3.2 即可将其延拓为六函子理论, 此外, 再结合定理 3.5 可将该六函子理论延拓到 $\mathsf{CondAni}$ 上.

[还可以加入 [Scholze 2022] 中的更多例子]

5参考文献

讲义:

•	Peter Scholze (2022). “Six-functor formalisms”. (pdf)

相关论文:

•	Claudius Heyer, Lucas Mann (2024). “6-functor formalisms and smooth representations”. arXiv: 2410.13038 [math.CT].

6相关概念

术语翻译

六函子理论 • 英文 six-functor formalism