用户: 遗忘的左伴随/代数几何/概形

1背景

我们希望在古典代数几何到现代代数几何的过程中有个平稳落地, 正巧, 经典代数簇实际上与现代概形在定义方式上并无本质区别, 此处实际为第一讲中推广素谱概念的详细化讲解 (但是我们不会很严格地遵循经典代数几何的语言).
假设 $k=\bar{k}$, 根据经典的代数几何理论, 可知有这样的一些对应

仿射代数簇

我们回顾一下仿射代数簇的情况, 首先回忆一下定义.

定义 1.1. 设 $k$ 是代数闭域. $k$ 上的仿射代数簇是形如下式的仿射空间子集: $$V=\{x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{A}}_k^n\mid f_1(x)=\cdots =f_m(x)=0\}$$其中 $f_1,\dots ,f_m\in k[x_1,\dots ,x_n]$ 为 $n$ 元多项式.

此时有$$\{\text{Irreducible affine algebraic sets}\}\stackrel{1:1}{\leftrightarrow }\{\text{Integral finitely generated }k\text{-algebra}\}$$将对应的环记为 $k[V]$, 由此我们可以知道几何的结构可以对应出代数的信息, 在接触了足够多的仿射代数簇后会发现所有的信息都在 $k[V]$ 里. 我们可以把这些信息进行打包, 由此就引入了—结构层 $O_V$, 在仿射代数簇语境下所言结构层为正则函数层, 所谓正则函数就是有理且在定义域上非 $0$ 的函数.
对于 $U\subset V$ 为开集, 定义$$O_V:U\mapsto O_V(U):=\{\text{正则函数}U\to k\}$$

事实 1.2.

•	$O_V(V)=k[V]$.
•	取 $f\in k[V]$ 且 $f\ne 0$, 可以生成仿射开集 $D(f):=\{x\in A_k^n:f(x)\ne 0\}$, 可以得知 $O_V(D(f))=k[V{]}_f$.
•	给定 $x\in V$, 可以定义在 $x$ 处的茎为 $(O_V{)}_x=k[V][\{f^{-1}:f(x)\ne 0\}]$ 为局部环, 令 ${\mathfrak{m}}_x$ 为 $x$ 所对应的极大理想 (即在 $x$ 点处取 $0$ 的所有函数生成的理想), 则 $(O_V{)}_x/{\mathfrak{m}}_x\simeq k$.

可以发现以上事实实际上都是从环 $k[V]$ 中读出来的, 它包含了所有的信息, 但是使用层可以把所有的信息打包好.

粘接仿射部分

定义 1.3 (预簇). 取定代数闭域 $k$, $k$ 上的预簇是一个二元组 $(X,O_X)$, 其中 $X$ 是一个连通的拓扑空间, 而 $O_X$ 为 $k$-代数层. 使得存在 $X$ 的有限开覆盖 $\{U_i\}$ 使得 $(U_i,O_X{\mid }_{U_i})\simeq (V_i,O_{V_i})$, 其中 $(V_i,O_{V_i})$ 为仿射代数簇, 此处 “$\simeq$” 具有两重含义, 首先作为拓扑空间 $U_i\simeq V_i$ 为同胚, 而后作为层 $O_X{\mid }_{U_i}$ 与 $O_{V_i}$ 是同构的.

通过预簇我们就可以去定义代数簇, 真正的代数簇与预簇之间的区别在于代数簇会排除一些 “坏” 的情况.

分离性

我们通过分离性 ¹来排除诸如带有两个原点的仿射直线这种比较 “差” 的东西. 回忆到在拓扑空间 $X$ 是 Hausdorff 空间等价于对角线 $\Delta$ 在 $X\times X$ 中是闭的. 而后我们模仿这个定义在代数几何中 (不是 Hausdorff 的情况下) 定义分离性 (模拟 Hausdorff). 这需要给 $X\times X$ 一个代数预簇的结构但是需要注意的是粘接出来的结构不是乘积拓扑 (我们在古典代数几何中已经知道 $A_k^2\not\simeq A_k^1\times A_k^1$) 因此还需要进行一些改造, 在纤维积 (可能在后一讲中会提到) 后我们就可以得到$$A_A^n\underset{A}{\times }{A}_A^m\simeq A_A^{n+m}$$这是因为对偶到环范畴上纤维积对应为推出, 而环范畴上的推出实为张量积, 利用代数张量积的性质即知, 对代数簇也是一样的道理, 但是具体描绘比较复杂. 这使得我们可以把分离性推广到代数簇上.
考古就先考到这里, 接下来我们回到正题.

2$\mathrm{Spec}A$ 上的结构层

现在我们回到 $\mathrm{Spec}A$, 在背景故事里我们絮絮叨叨说了那么多, 现在我们想在 $\mathrm{Spec}A$ 上对我们的絮絮叨叨进行推广, 那么首先就应该在 $\mathrm{Spec}A$ 上构造结构层 $O_{\mathrm{Spec}A}$.

目标. 构造 $\mathrm{Spec}A$ 的结构层 $O_{\mathrm{Spec}A}$, 在没有歧义的情况下也写成 $O$.

根据 1 中知识我们可以猜想我们希望得到什么样的东西.

•	整体截面上:$O(\mathrm{Spec}A)=\Gamma (\mathrm{Spec}A,O)=A$.
•	任意 $A$ 中元素 $f$, 考虑主开集 $D(f)$, 希望得到 $O(D(f))$ 为局部化 $A_f$, 特别地取 $f=1$ 时得到上一点.
•	对于 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$, 希望得到在 $\mathfrak{p}$ 处的茎 $O_{\mathfrak{p}}$ 是局部化 $A_{\mathfrak{p}}$.

哈哈, 得去写六函子了, 等写完再回来写这个.

3函子观点看概形

脚注

1.	^ 在法语里 Separated = Hausdorff