仿射空间

关于代数几何中的仿射空间, 请参见 “仿射空间 (代数几何)”.

仿射空间是几何学中的重要对象. 直观地说, 仿射空间就是像向量空间一样的空间, 只是我们忘掉哪里是原点, 这样所有点看起来都一样. 例如, Euclid 几何就是 $\mathbb{R}$ 上的仿射空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中的几何.

零维仿射空间是单点空间. 一维、二维的仿射空间分别称为仿射直线、仿射平面.

1定义

定义 1.1 (仿射空间). 设 $k$ 是域. 则 $k$ 上的仿射空间是 $k$ 上某个向量空间的自由齐性空间. 也就是说, 向量空间 $V$ 上的仿射空间是二元组 $(A,t)$, 其中 $A$ 是集合, $t:V\times A\to A$ 是映射, 满足条件

•	它是群作用, 即对任意 $p\in A$, $v_1,v_2\in V$, $t(v_1,t(v_2,p))=t(v_1+v_2,p)$.

•	它是自由、传递作用, 即对任意 $p\in A$, $t(-,p):V\to A$ 是双射.

此时 $A$ 中元素称为仿射空间的点, $t(v,p)$ 称为点 $p$ 沿向量 $v$ 的平移. 另外, 有时也说 $A$ 是向量空间 $V$ 上的仿射空间.

2性质

•	$\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 上有限维向量空间的仿射空间, 即 ${\mathbb{R}}^n$ 或 ${\mathbb{C}}^n$ 的仿射空间, 带有自然的拓扑和自然的光滑流形结构, 由 ${\mathbb{R}}^n$ 或 ${\mathbb{C}}^n$ 上的相应结构诱导.

3相关概念

•	仿射变换
•	射影空间

术语翻译

仿射空间 • 英文 affine space • 德文 affiner Raum (m) • 法文 espace affine (m)