代数闭域

代数闭域指每个非常值一元多项式都有根的域, 即对「代数方程求解」的操作封闭的域.

1定义

定义 1.1 (代数闭域). 称域 $K$ 为代数闭域, 指对其上每个非常值多项式 $f(x)\in K[x]$, 都存在 $a\in K$ 使得 $f(a)=0$.

2等价刻画

域 $K$ 代数闭等价于以下任一条件.

•	$K$ 上不可约多项式只有一次的.
•	$K$ 上首一多项式都是形如 $(x-a)$ 者的乘积.
•	$K$ 的有限扩张只有其自身.
•	$K$ 的代数扩张只有其自身.
•	$K$ 上整环的张量积仍为整环.

3例子

•	任何域 $k$ 的代数闭包 $k^{\mathrm{a}}$ 是代数闭域, 且 $k^{\mathrm{a}}/k$ 是代数扩张.
•	由代数基本定理, 复数域 $\mathbb{C}$ 为代数闭域.

4性质

量词消去

代数闭域理论具有量词消去, 即其上每个一阶语句都等价于某个不含存在量词者. 固定特征的代数闭域理论完备, 即其上每个闭语句都要么被证明, 要么被证否.

5相关概念

•	域扩张
•	绝对 Galois 群
•	量词消去

术语翻译

代数闭域 • 英文 algebraically closed field • 德文 algebraisch abgeschlossener Körper • 法文 corps algébriquement clos • 拉丁文 corpus algebraice clausum • 古希腊文 μεταριθμικῶς κλειστὸν σῶμα