用户: 遗忘的左伴随/伸展范畴与高阶代数/算畴

本节来讲述算畴理论, 不过本文中, 我们考虑的算畴将是建立在 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 上的, 利用代数模式可以说明其与 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ (即 Lurie 的版本) 的等价性.

1定义以及例子

以下令 $\widehat{{\mathsf{Cat}}^{\times }}$ 为大范畴所构成的 (超大) 范畴以及其间保持有限乘积的函子构成的范畴.

定义 1.1. $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$-算畴是指二元组 $\mathcal{O}=({\mathcal{O}}^{\otimes },p_{\mathcal{O}})$, 其中

•	${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 是范畴;
•	$p_{\mathcal{O}}:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 为函子.

它们满足以下条件, 对于有限集 $I$, 记 ${\mathcal{O}}_I$ 为 $I$ 的纤维:

1.	${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 具有有限乘积, 且 $p_{\mathcal{O}}$ 保持有限乘积;
2.	对于任意有限集 $I\in \mathsf{Fin}$, 有 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中乘法诱导的范畴等价$$\prod _{i\in I}{\mathcal{O}}_{\{i\}}^{\otimes }\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{O}}_I^{\otimes };$$
3.	对于 $\mathsf{Fin}$ 中态射 $f:J\to I$ 以及 $X_i\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 态射 $\tilde{f}:{\prod }_{i\in I}{X}_i\to {\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)}$ 是 $p_{\mathcal{O}}$-推出态射, 即对于每个 $Y\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 图表$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}\left({\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)},Y\right){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}\left({\prod }_{i\in I}{X}_i,Y\right){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}\left(p\left({\prod }_{j\in J}{X}_j\right),p(Y)\right){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}\left(p\left({\prod }_{i\in I}{X}_i\right),p(Y)\right)-\circ \tilde{f}{p}_{\mathcal{O}}-\circ p(\tilde{f})$$是拉回图表.

令 $\mathcal{P}=(\mathcal{P},p_{\mathcal{P}})$ 为另一 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$-算畴, 则 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$-算畴间的态射是指交换图表$${\mathcal{O}}^{\otimes }{\mathcal{P}}^{\otimes }\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}),p_{\mathcal{O}}F{p}_{\mathcal{P}}$$且 $F$ 保持有限乘积. 全体算畴及其间态射构成全子范畴$$\mathsf{Op}\subseteq {\left({\mathsf{Cat}}^{\times }\right)}_{/\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}.$$

以下将 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$-算畴简称为算畴.

定义 1.2. 给定算畴 $\mathcal{O},\mathcal{P}\in \mathsf{Op}$, 将全体 $\mathcal{O}$ 到 $\mathcal{P}$ 的算畴态射记为 ${\mathsf{Fun}}_{\mathsf{Op}}(\mathcal{O},\mathcal{P})$. 它可以被描述为纤维$${\mathsf{Fun}}_{\mathsf{Op}}(\mathcal{O},\mathcal{P}){\mathsf{Fun}}^{\times }({\mathcal{O}}^{\otimes },{\mathcal{P}}^{\otimes })\{p_{\mathcal{O}}\}{\mathsf{Fun}}^{\times }({\mathcal{O}}^{\otimes },\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})).\text{┘}{p}_{\mathcal{P}}\circ -$$

记号 1.3.

•	记 ${\mathcal{O}}_{⟨1⟩}:=p_{\mathcal{O}}^{-1}(⟨1⟩)$ 为 $1$ 元集合 $⟨1⟩=\{1\}$ 处的纤维 1, 并将其称为算畴 $\mathcal{O}$ 的全范畴. 记其核为$${\mathcal{O}}^{\simeq }:={\left({\mathcal{O}}_{⟨1⟩}^{\otimes }\right)}^{\simeq }$$并称其为 $\mathcal{O}$ 的有色生象, 并将其内对象称为颜色.
•	对于有限集 $I\in \mathsf{Fin}$, 条件 2 保证每个 ${\mathcal{O}}_I^{\otimes }$ 中对象都可唯一写成一些颜色 $x_i\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$ 的乘积 ${\prod }_{i\in I}{x}_i$. 类比于经典的有色算畴 (请查阅词条), 我们也会将该乘积写为一族颜色 $\{x_i{\}}_{i\in I}$.

•	给定另一个颜色 $y\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$, 可通过伸展 $I=I\to ⟨1⟩$ 定义从 $\{x_i{\}}_{i\in I}$ 到 $y$ 的多元态射生象为$$\mathcal{O}(\{x_i{\}}_{i\in I};y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}\left(\{x_i{\}}_{i\in I},y\right)\ast {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(I,⟨1⟩).\text{┘}{p}_{\mathcal{O}}$$
•	对于 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中态射 $\phi :X\to Y$, 如果它在 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 的像为 $I=I\stackrel{g}{\to }J$, 则将其称为活性态射. 如果它是 $p_{\mathcal{O}}$-推出态射, 且其中 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 中的像为 $I\stackrel{f}{\leftarrow }J=J$, 则称其为惰性态射.

注 1.4. 我们有以下观点:

•	活性态射编码算畴的结构;
•	惰性态射捕获 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中乘积.

这是因为, 定义 1.1 的条件 3 所对应的态射即为惰性态射, 因此其确实编码了 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中乘积. 而不难发现对于任意伸展$$KIJ,fg$$都可将其改写为以下复合$$KKKIKJfgfg$$由此可将任意伸展写为活性态射与惰性态射的复合, 对于任意 $\mathcal{O}$ 中态射 $\phi :X\to Y$, 使得其在 $p_{\mathcal{O}}$ 下的像为 $I\leftarrow K\to J$, 则根据前文将其写为复合后, 我们知道 $I\stackrel{f}{\leftarrow }K=K$ 是惰性态射, 因此存在唯一的提升 $\tilde{f}:X\to Y$, 从而存在唯一的 $\psi :Y\to Z$ 使得 $p_{\mathcal{O}}(\psi )=g$ 且 $\psi \circ \tilde{f}=\phi$.

以下给出一些算畴的例子.

例 1.5.

•	交换算畴 $\mathsf{Comm}=(\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}),\mathrm{id})$. 这是 $\mathsf{Op}$ 的终对象;
•	结合算畴 $\mathsf{Assoc}$(直接写出构造较为复杂且不美观, 其具体构造将在后文使用更自然的方式讲述, 读者暂且相信其存在即可);
•	左模算畴 $\mathsf{LMod}$(同上) , 同理, 具有右模算畴 $\mathsf{RMod}$, 双模算畴 $\mathsf{BiMod}$ 以及交换模算畴 $\mathsf{CMod}$;
•	平凡算畴 $\mathsf{Triv}=({\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}},p_{\mathsf{Triv}}=嵌入:{\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}}\hookrightarrow \mathsf{Span}(\mathsf{Fin}))$;
•	空算畴 ${\mathsf{Triv}}_{\varnothing }=(\ast ,p_{{\mathsf{Triv}}_{\varnothing }}:\ast \stackrel{⟨1⟩}{\hookrightarrow }\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}))$, 其中 $p_{{\mathsf{Triv}}_{\varnothing }}$ 为单点集 $⟨1⟩$ 的嵌入函子, 它是 $\mathsf{Op}$ 的始对象 (请读者自行验证);
•	令 $\mathcal{I}$ 为范畴, 令 $q:\mathsf{Fin}(\mathcal{I})\to \mathsf{Fin}$ 表示函子 ${\mathcal{I}}^{(-)}:{\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Cat}$ 的反直化. 定义 ${\mathsf{Triv}}_{\mathcal{I}}$ 为$${\mathsf{Triv}}_{\mathcal{I}}^{\otimes }=\mathsf{Fin}(\mathcal{I}{)}^{\mathrm{op}},p_{{\mathsf{Triv}}_{\mathcal{I}}}:\mathsf{Fin}(\mathcal{I}{)}^{\mathrm{op}}\stackrel{q^{\mathrm{op}}}{\to }{\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}}\hookrightarrow \mathsf{Span}(\mathsf{Fin}).$$并且将其称为由 $\mathcal{I}$ 生成的算畴, 不难发现前两个例子分别为 $\mathcal{I}=\ast$ 以及 $\mathcal{I}=\varnothing$ 的情况. ${\mathsf{Triv}}_{\mathcal{I}}$ 具有以下泛性质: 算畴态射 ${\mathsf{Triv}}_{\mathcal{I}}\to \mathcal{O}$ 即为函子 $\mathcal{I}\to {\mathcal{O}}_{⟨1⟩}^{\otimes }$.
•	带点算畴 ${\mathcal{E}}_0=({\mathsf{Span}}_{全体态射,单态射}(\mathsf{Fin}),p_{{\mathcal{E}}_0}=嵌入:{\mathsf{Span}}_{全体态射,单态射}(\mathsf{Fin})\to \mathsf{Span}(\mathsf{Fin}))$. 其活性态射为有限集的单射 $I\hookrightarrow J$.

算畴的等价定义

本节来给出更贴合于 [Lurie 2017] 的算畴等价定义 (即香蕉空间中$(\infty ,1)$-算畴词条的定义).

命题 1.6. 考虑函子 $p_{\mathcal{O}}:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$, 则 $({\mathcal{O}}^{\otimes },p_{\mathcal{O}})$ 构成算畴当且仅当其满足以下条件:

(1)	对于 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 的全体惰性态射, ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中都具有其对应的 $p_{\mathcal{O}}$-推出态射;
(2)	对于每个 $I\in \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$, 全体伸展$${\rho }_i:I\hookleftarrow \{i\}=\{i\}$$对应的推出态射 ${\tilde{\rho }}_i$ 将诱导出范畴等价$${\mathcal{O}}_I^{\otimes }\stackrel{\sim }{\to }\prod _{i\in I}{\mathcal{O}}_{\{i\}}^{\otimes };$$
(3)	对于 $I\in \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 给定其对应的对象 $X\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 则 ${\tilde{\rho }}_i$ 诱导 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中的自然同构$$X\stackrel{\sim }{\to }\prod _{i\in I}{X}_i,$$换句话说, ${\tilde{\rho }}_i$ 将 $X$ 变为 $X_i$ 的乘积.

证明.

证明. 我们需要做的不过是简单的验证, 这繁而不难, 不过还是稍微做一下. 令 $\mathcal{O}$ 为定义 1.1 所述的算畴, 以下说明其满足命题 1.6 所给条件:

命题 1.6 的条件 (1).	(下文所述条件均为定义 1.1 中的, 使用超链接进行跳转也可发现 2) 考虑 $\mathsf{Fin}$ 中态射 $J\to I$ 以及 $X\in {\mathcal{O}}_I^{\otimes }$. 由条件 2 可知可将 $X$ 唯一分解为 ${\prod }_{i\in I}{X}_i$, 而后令 $Y:={\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)}$ 且定义 $\tilde{f}:X\to Y$ 为第 $j$ 个分量是投影 ${\prod }_{i\in I}{X}_i\to X_{f(j)}$. 因此根据条件 3 可知 $\tilde{f}$ 是 $I\stackrel{f}{\leftarrow }J=J$ 的 $p_{\mathcal{O}}$-推出提升;
命题 1.6 的条件 (3).	(同上条) 仍然使用条件 2 将 $X\in {\mathcal{O}}_I^{\otimes }$ 写为乘积 ${\prod }_{i\in I}{X}_i$. 根据条件 3, $X={\prod }_{i\in I}{X}_i\to X_i$ 为 ${\rho }_i:I\hookleftarrow \{i\}=\{i\}$ 的提升;
命题 1.6 的条件 (2).	(同上条) 说明 ${\tilde{\rho }}_i$ 所诱导态射 ${\mathcal{O}}_I^{\otimes }\to {\prod }_{i\in I}{\mathcal{O}}_{\{i\}}^{\otimes }$ 为范畴等价就只需说明其为条件 2 所给出的范畴等价 ${\prod }_{i\in I}{\mathcal{O}}_{\{i\}}^{\otimes }\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{O}}_I^{\otimes }$ 的逆即可, 而这无非是 ${\prod }_{i\in I}{X}_i\to X_i$ 为 ${\rho }_i$ 所对应的 $p_{\mathcal{O}}$-提升态射的推论.

接下来说明满足命题 1.6 的 $(\mathcal{O},p_{\mathcal{O}})$ 是算畴.

定义 1.1 的条件 1.	(下文所述条件均为命题 1.6 中的) 考虑 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 令 $T_i:=p_{\mathcal{O}}(Y^i)$, $T:={\coprod }_{i\in I}{T}_i$. 取定 ${\rho }_{t_i}:T_i\hookleftarrow \{t_i\}=\{t_i\}$ 的提升 $\widetilde{{\rho }_{t_i}}:Y_i\to Y_i^{t_i}$, 条件 (3) 说明有同构 $Y_i\simeq {\prod }_{t_i\in T_i}{Y}_i^{t_i}$, 再根据条件 (2) 可知存在 $Y\in {\mathcal{O}}_T^{\otimes }$ 使得其被 ${\rho }_{t_i}^{\prime }:T\hookleftarrow \{t_i\}=\{t_i\}$ 对应的提升映到 $Y_i^{t_i}$, 并且可以得知 $Y$ 可分解为 ${\prod }_{i\in I}{\prod }_{t_i\in T_i}{Y}_i^{t_i}$. 这无异于说 $Y\simeq {\prod }_{i\in I}{Y}_i$, 由此说明 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 具有有限乘积;
定义 1.1 的条件 2.	只需说明 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中乘法诱导的函子$$\prod _{i\in I}{\mathcal{O}}_{\{i\}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}_I^{\otimes }$$是条件 (2) 所述范畴等价的逆即可, 而这由条件 (3) 所确保;
定义 1.1 的条件 3.	考虑有限集间态射 $f:J\to I$, 且 $X_i\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 以下说明 $\tilde{f}:{\prod }_{i\in I}{X}_i\to {\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)}$ 是 $p_{\mathcal{O}}$-推出态射. ∘ 首先证明对于所有 $i\in I$, $p(X_i)=\ast$ 的情况. 令 $\bar{f}:{\prod }_{i\in I}{X}_i\to Y$ 为 $f$ 的推出提升. 根据推出提升的泛性质可知存在态射 $Y\to {\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)}$, 我们希望这个态射会是同构. 注意到这个态射实际上是在 ${\mathcal{O}}_J^{\otimes }$ 中的, 因此利用条件 (2) 可知只需将其沿诸 ${\rho }_j$ 进行传输后验证是否为同构即可. 将 ${\rho }_j$ 所对应的推出传输函子记为 $({\rho }_j{)}_{!}$, 考虑伸展的复合$$\{f(j)\}J\{j\}IJ\ast ,f$$即为 ${\rho }_{f(j)}$, 从而得到 $({\rho }_{f(j)}{)}_{!}Y\simeq X_{f(j)}$. 同理得到 $({\rho }_{f(j)}{)}_{!}\left({\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)}\right)\simeq X_{f(j)}$, 从而证明了特殊情况; ∘ 以下说明一般情况, 为此将每个 $X_i$ 写为乘积 ${\prod }_{t_i\in T_i}{X}_i^{t_i}$, 而后再对 ${\prod }_{i\in I}{\prod }_{t_i\in T_i}{X}_i^{t_i}$ 进行如上论证即可.

$\square$

注 1.7. 出于后文的一些目的, 注意到命题 1.6 中 (3)  相当于在说对于任意的 $I,J\in \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 以及使得 $p(X)=I$, $p(Y)=J$ 的 $X,Y\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 给定 ${\rho }_j:J\hookleftarrow \{j\}=\{j\}$ 所对应的推出边 $Y\to Y_j$, 有拉回图表$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}(X,Y){\prod }_{j\in J}{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}(X,Y_j){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(I,J){\prod }_{j\in J}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(I,\{j\})\text{┘}{p}_{\mathcal{O}}{p}_{\mathcal{O}}$$事实上, 由于底部的横向箭头为同构, 因此顶部箭头也是同构, 因此这就相当于说 $Y$ 是诸 $Y_j$ 的乘积.

推论 1.8. 令 $\mathcal{O}$ 为算畴, 则 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 的惰性态射即为形如 $\tilde{f}:{\prod }_{i\in I}{X}_i\to {\prod }_{j\in J}$ 的态射, 其中 $f:J\to I$ 为 $\mathsf{Fin}$ 中态射, 且 $X_i\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$ 为颜色.

类似地, 令 $\mathcal{P}$ 也为算畴, 且 ${\phi }^{\otimes }:{\mathcal{P}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}^{\otimes }$ 为 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 上的态射, 则 ${\phi }^{\otimes }$ 为算畴间态射当且仅当其保持惰性态射.

2$\mathcal{O}$-幺半范畴与 $\mathcal{O}$-代数

本节来讲述算畴代数概念.

对称幺半范畴

定义 2.1. 令 $\mathcal{C}$ 为带有限乘积范畴, 则 $\mathcal{C}$ 上的交换幺半群是指保持乘积的函子 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})\to \mathcal{C}$. 记 $\mathsf{CMon}(\mathcal{C})\subseteq \mathsf{Fun}(\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}),\mathcal{C})$ 为 $\mathcal{C}$ 中交换幺半群所构成的全子范畴.

定义 2.2. $\mathsf{Cat}$ 上的交换幺半群即为对称幺半范畴. 为方便起见, 我们常将对称幺半范畴简记为 $\mathcal{C}$, 但在强调对称幺半结构时, 我们会将其写为三元组 $(\mathcal{C},\otimes ,1)$ 或 $(\mathcal{C},\otimes )$. 也将全体对称幺半范畴所构成的范畴记为 ${\mathsf{Cat}}^{\otimes }:=\mathsf{CMon}(\mathsf{Cat})$. 将 ${\mathsf{Cat}}^{\otimes }$ 中态射称为 (强) 对称幺半函子.

引理 2.3. 令 $p_{\mathcal{O}}:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 为推出纤维化, 则 $({\mathcal{O}}^{\otimes },p_{\mathcal{O}})$ 为算畴当且仅当 $p_{\mathcal{O}}$ 的直化$$\mathrm{St}(p_{\mathcal{O}}):\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})\to \mathsf{Cat}$$是保持有限乘积的函子.

证明.

证明. 只需验证与命题 1.6 的三个条件的等价性即可.

(1)	由假设即知;
(2)	不难发现其等价于说 $\mathrm{St}(p_{\mathcal{O}})$ 保持乘积, 这是因为 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 中的乘积由伸展 ${\rho }_i$ 所表出;
(3)	根据注记 1.7, 只需说明对于每个 $X\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 都有拉回图表$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}(X,Y){\prod }_{j\in J}{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}(X,Y_j){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(I,J){\prod }_{j\in J}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(I,\{j\})\text{┘}{p}_{\mathcal{O}}{p}_{\mathcal{O}}$$为此, 考虑伸展 $\alpha :I\stackrel{f}{\leftarrow }K\stackrel{g}{\to }J$, 令 $X^{\prime }:={\alpha }_{!}X\in {\mathcal{O}}_J^{\otimes }$ 为 $X$ 沿该伸展的传输. 由定义可知, 前复合上 $\phi :X\to X^{\prime }$ 可诱导出拉回图表$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}(X^{\prime },Y){\prod }_{j\in J}{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}(X,Y){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(J,J){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(I,J)\text{┘}{p}_{\mathcal{O}}-\circ \phi p_{\mathcal{O}}-\circ (f,g)$$类似地, 记 $X\to X_j$ 为沿 ${\rho }_j$ 的传输. 则有以下交换图由于 ${\prod }_{j\in J}{\mathcal{O}}_{\{j\}}^{\otimes }\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{O}}_J^{\otimes }$ 为同构, 因此左侧方块为拉回图表, 同时可知背后方块也为拉回图表, 从而右侧方块也为拉回图表

$\square$

定义 2.4. 给定对称幺半范畴 $\mathcal{C}$, 记其推出反直化为$${\mathcal{C}}^{\otimes }:=\mathrm{Un}(\mathcal{C}:\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})\to \mathsf{Cat}).$$根据引理 2.3 可知推出纤维化 $p_{\mathcal{C}}:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 定义出算畴 ${\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}:=({\mathcal{C}}^{\otimes },p_{\mathcal{C}})$, 称为 $\mathcal{C}$ 对应的多元态射算畴. 利用反直化的函子性, 可知这定义出函子$$\mathcal{M}:{\mathsf{Cat}}^{\otimes }\hookrightarrow \mathsf{Op}.$$

以下判据可用以检查一个算畴是否对应于一个对称幺半范畴.

引理 2.5. 令 $\mathcal{O}$ 为算畴, 如果其满足以下两个条件:

1.	对于 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中对象 $\{x_i{\}}_{i\in I}$, 函子$$\mathcal{O}(\{x_i{\}}_{i\in I};-):{\mathcal{O}}_{⟨1⟩}\to \mathsf{Ani}$$是余可表的, 即存在多元态射 $\phi :\{x_i{\}}_{i\in I}\to y$ 使得对于每个颜色 $z\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$, 前复合上 $\phi$ 诱导出同构$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}_{⟨1⟩}}(y,z)\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{O}(\{x_i{\}}_{i\in I};z).$$该条件在可缩意义下唯一的确定了 $y$, 此时将其记为 ${⨂}_{i\in I}{x}_i$;
2.	对于有限集间态射 $f:I\to J$, 比较态射$$\underset{i\in I}{⨂}{x}_i\to \underset{j\in J}{⨂}\underset{i\in f^{-1}(j)}{⨂}{x}_i$$是同构.

则 $p_{\mathcal{O}}:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 为推出纤维化, 且此时其对应于对称幺半范畴 ${\mathcal{O}}_{⟨1⟩}^{\otimes }$.

证明.

证明. 为说明 $p_{\mathcal{O}}$ 为推出纤维化, 需说明 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 中所有态射均有推出提升即可. 而定义 1.1 已然保证了惰性态射的推出提升的存在性. 因此只需说明活性态射具有推出提升. 考虑活性态射 $\alpha :I=I\stackrel{f}{\to }J$. 令 $X=\{x_i{\}}_{i\in I}$ 为 ${\mathcal{O}}_I^{\otimes }$ 中的对象. 对于每个 $X_j:=\{x_i{\}}_{i\in f^{-1}(j)}$, 利用条件 1 可知存在态射 ${\phi }_j:\{x_i{\}}_{i\in f^{-1}(j)}\to y_j$ 使得 $\mathcal{O}(\{x_i{\}}_{i\in f^{-1}(j)};-):{\mathcal{O}}_{⟨1⟩}\to \mathsf{Ani}$ 余可表. 这些多元态射又确定了 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中态射 $\phi :X\to Y:=\{y_j{\}}_{j\in J}$. 以下说明 $\phi$ 是 $\alpha$ 的推出提升.

为此, 考虑任意伸展 $\beta :J\stackrel{g}{\leftarrow }K\stackrel{h}{\to }L$, 并且令 $Z=\{z_l{\}}_{l\in L}$ 为 ${\mathcal{O}}_L^{\otimes }$ 中的对象. 需要说明的是前复合上 $\phi$ 诱导出同构$$-\circ \phi :{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}^{\beta }(Y,Z)\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}^{\beta \circ \alpha }(X,Z).$$此处 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}^{\beta }(Y,Z)$ 是指 $p_{\mathcal{O}}^{-1}(\beta )\subset {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}(Y,Z)$, 类似可知 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}^{\beta \circ \alpha }(X,Z)$ 含义. 由于 $Z$ 在 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中可写为一些颜色的乘积, 因此不妨设 $L=⟨1⟩$, 即此时只有一个颜色 $z:=z_1$. 利用惰性态射 $\{y_j{\}}_{j\in J}\to \{y_{g(k)}{\}}_{k\in K}$ 以及 $\{x_i{\}}_{(i,k)\in I{\times }_{J}K}$, 将一切转为说明$$-\circ \phi :\mathcal{O}(\{y_{g(k)}{\}}_{k\in K};z)\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{O}(\{x_i{\}}_{(i,k)\in I{\times }_{J}K};z).$$而后利用条件 1 将 $\mathcal{O}(\{y_{g(k)}{\}}_{k\in K};-)$ 以及 $\mathcal{O}(\{x_i{\}}_{(i,k)\in I{\times }_{J}K};-)$ 余表出为 ${⨂}_{k\in K}{y}_{g(k)}$ 以及 ${⨂}_{(i,k)\in I{\times }_{J}K}{x}_i$. 由于 $y_{g(k)}={⨂}_{i\in f^{-1}(g(k))}{x}_i$, 因此由条件 2 可得到同构$$\underset{(i,k)\in I{\times }_{J}K}{⨂}{x}_i\stackrel{\sim }{\to }\underset{k\in K}{⨂}\underset{i\in f^{-1}(g(k))}{⨂}{x}_i.$$

$\square$

$\mathcal{O}$-代数

现在, 来介绍算畴代数的概念.

定义 2.6. 令 $\mathcal{O}$ 为算畴且 $\mathcal{C}$ 为对称幺半范畴. 则 $\mathcal{C}$ 中的 $\mathcal{O}$-代数定义为算畴态射 $\mathcal{O}\to {\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}$. 记$${\mathsf{Alg}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C}):={\mathsf{Fun}}_{\mathsf{Op}}(\mathcal{O},{\mathcal{M}}_{\mathcal{C}})$$为 $\mathcal{C}$ 中的 $\mathcal{O}$-代数所构成的范畴.

注 2.7. 更一般的, 对于算畴 $\mathcal{P}$, 可定义 $\mathcal{P}$ 中的 $\mathcal{O}$-代数为算畴态射 $\mathcal{O}\to \mathcal{P}$. 并且记 ${\mathsf{Alg}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{P}):={\mathsf{Fun}}_{\mathsf{Op}}(\mathcal{O},\mathcal{P})$.

最后给出一些例子.

例 2.8.

•	常常将 $\mathsf{Comm}$-代数称为交换代数 (或 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-代数), 且记$$\mathsf{CAlg}(\mathcal{C}):={\mathsf{Alg}}_{\mathsf{Comm}}(\mathcal{C});$$
•	常常将 $\mathsf{Assoc}$-代数称为结合代数 (或 ${\mathbb{E}}_1$-代数, ${\mathbb{A}}_{\infty }$-代数), 且记$$\mathsf{Alg}(\mathcal{C}):={\mathsf{Alg}}_{\mathsf{Assoc}}(\mathcal{C});$$
•	常常将 $\mathsf{LMod}$-代数 ($\mathsf{RMod}$-代数, $\mathsf{BiMod}$-代数, $\mathsf{CMod}$-代数) 称为左模 (右模, 双模, 交换模). 且记$$\begin{array}{rl}\mathsf{LMod}(\mathcal{C})& :={\mathsf{Alg}}_{\mathsf{LMod}}(\mathcal{C}),\\ \mathsf{RMod}(\mathcal{C})& :={\mathsf{Alg}}_{\mathsf{RMod}}(\mathcal{C}),\\ \mathsf{BiMod}(\mathcal{C})& :={\mathsf{Alg}}_{\mathsf{BiMod}}(\mathcal{C}),\\ \mathsf{CMod}(\mathcal{C})& :={\mathsf{Alg}}_{\mathsf{CMod}}(\mathcal{C});\end{array}$$
•	$\mathsf{Triv}$-代数无非是 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 上保持乘积的函子 ${\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}}\to {\mathcal{C}}^{\otimes }$. 由于 $\mathsf{Fin}$ 为单点集所自由生成的范畴, 因此取值函子诱导出范畴等价$${\mathsf{Alg}}_{\mathsf{Triv}}(\mathcal{C})\simeq \mathcal{C},$$即 $\mathcal{C}$ 中的 $\mathsf{Triv}$-代数即为 $\mathcal{C}$ 中对象;
•	${\mathsf{Triv}}_{\varnothing }$-代数无非是 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 上保持乘积的函子 $\ast \to {\mathcal{C}}^{\otimes }$. 因此$${\mathsf{Alg}}_{{\mathsf{Triv}}_{\varnothing }}(\mathcal{C})\simeq \ast .$$

松对称幺半函子

注 2.9. 在本节中, 为与松对称幺半函子形成对比, 我们将定义 2.2 中的对称幺半函子全写为强对称幺半函子.

在上一节中, 我们使用算畴定义出了对称幺半范畴 $\mathcal{C}$, 并且给出了对称幺半范畴所对应的算畴 ${\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}$. 使用算畴观点来看待对称幺半范畴的好处就在于此时松对称幺半函子的定义是非常轻巧的.

定义 2.10. 令 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}\in {\mathsf{Cat}}^{\otimes }$ 为对称幺半范畴. 则

•	从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的左松对称幺半函子定义为算畴态射$${\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}\to {\mathcal{M}}_{\mathcal{D}};$$
•	从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的右松对称幺半函子定义为算畴态射$${\mathcal{M}}_{{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}}\to {\mathcal{M}}_{{\mathcal{D}}^{\mathrm{op}}}.$$记$${\mathsf{Cat}}^{\otimes \text{-lax}}\subseteq \mathsf{Op}$$为由对称幺半范畴所对应的算畴以及它们之间的算畴态射所构成的范畴.

注 2.11. 以下说明松对称幺半函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 所蕴含的信息为何. 不难发现我们有交换图$${\mathcal{C}}^{\otimes }{\mathcal{D}}^{\otimes }\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}).F^{\otimes }{p}_{\mathcal{C}}{p}_{\mathcal{D}}$$将一切过渡到 $⟨1⟩$ 的纤维上, 得到函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$. 由于 $F^{\otimes }$ 作为算畴态射保持有限乘积, 因此对于任意对象 $(X_1,\cdots ,X_n)$ 有$$F^{\otimes }(X_1,\cdots ,X_n)=(F(X_1),\cdots ,F(X_n)).$$不难发现 $F^{\otimes }$ 在惰性态射之下的表现就完全由上式所确定. 而为观察其在活性态射下的表现, 只需观察到 $F^{\otimes }$ 将 $⟨n⟩=⟨n⟩\to ⟨1⟩$ 的推出提升 $(X_1,\cdots ,X_n)\to X_1\otimes \cdots \otimes X_n$ 映为 ${\mathcal{D}}^{\otimes }$ 中的态射$$(F(X_1),\cdots ,F(X_n))\to F(X_1\otimes \cdots \otimes X_n),$$它也是 $⟨n⟩=⟨n⟩\to ⟨1⟩$ 在 ${\mathcal{D}}^{\otimes }$ 中所对应的推出提升, 因此可知该态射穿过 $(F(X_1),\cdots ,F(X_n))\to F(X_1)\otimes \cdots \otimes F(X_n)$, 这给出所需的左松结构态射$$F(X_1)\otimes \cdots \otimes F(X_n)\to F(X_1\otimes \cdots X_n).$$对偶得到右松的版本.

在一般情况下, 构造左松对称幺半函子的方式是将其视为对应的对称幺半函子的右伴随.

命题 2.12. 令 $L:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为对称幺半范畴间的对称幺半函子. 假设 $L$ 作为函子具有右伴随 $R:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$. 则以下论述成立:

1.	函子 $L^{\otimes }:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathcal{D}}^{\otimes }$ 具有右伴随 $R^{\otimes }:{\mathcal{D}}^{\otimes }\to {\mathcal{C}}^{\otimes }$;
2.	$R^{\otimes }$ 可升级为算畴态射;
3.	$R^{\otimes }$ 限制在 $\mathcal{D}$ 上即为 $R$.

特别地, 对称幺半函子的右伴随总是典范的具有左松对称幺半结构.

证明.

证明.

1.	只需逐点的检查右伴随的存在性即可, 即说明对于 $X=\{x_i{\}}_{i\in I}\in {\mathcal{D}}^{\otimes }$, 存在对象 $R^{\otimes }X$ 以及余单位态射 ${\epsilon }_X:L^{\otimes }{R}^{\otimes }X\to X$ 使得对于每个 $Y\in {\mathcal{C}}^{\otimes }$, 以下态射复合是生象同构$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}(X,R^{\otimes }Y)\stackrel{L^{\otimes }}{\to }{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}(L^{\otimes }X,L^{\otimes }{R}^{\otimes }Y)\stackrel{{\epsilon }_X\circ -}{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(L^{\otimes }X,Y).$$(1)令 $R^{\otimes }X:=\{R{x}_i{\}}_{i\in I}$. 可知 $L^{\otimes }{R}^{\otimes }X\simeq \{LR{x}_i{\}}_{i\in I}$ 且 ${\epsilon }_X=({\epsilon }_{x_i}{)}_{i\in I}$, 这诱导出 ${\mathcal{D}}_I^{\otimes }\simeq {\prod }_{i\in I}\mathcal{D}$. 以下说明 (1) 是同构, 只需说明其在每个伸展 $\alpha :I\stackrel{f}{\leftarrow }K\stackrel{g}{\to }J$ 的纤维上均诱导同构即可. 令 $\tilde{\alpha }:X\to {\alpha }_{!}X$ 为 $\alpha$ 的推出提升, 由于 $L^{\otimes }$ 保持推出态射, 因而 $L^{\otimes }(\tilde{\alpha }):L^{\otimes }X\to L^{\otimes }{\alpha }_{!}X$ 为 $\alpha$ 在 ${\mathcal{D}}^{\otimes }$ 中的推出提升. 前复合上这些态射给出交换图表$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}({\alpha }_{!}X,R^{\otimes }Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}(L^{\otimes }{\alpha }_{!}X,L^{\otimes }{R}^{\otimes }Y){\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(L^{\otimes }{\alpha }_{!}X,Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}(X,R^{\otimes }Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}(L^{\otimes }X,L^{\otimes }{R}^{\otimes }Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}(L^{\otimes }X,Y).L^{\otimes }-\circ \tilde{\alpha }{\epsilon }_Y\circ --\circ L^{\otimes }\tilde{\alpha }-\circ L^{\otimes }\tilde{\alpha }{L}^{\otimes }{\epsilon }_Y\circ -$$图表中纵向态射诱导出 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(J,J)\stackrel{-\circ \alpha }{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(I,J)$ 的纤维上的同构, 因此可令 $\alpha ={\mathrm{id}}_J$. 此时纤维分别为 ${\mathcal{C}}_J^{\otimes }\simeq {\prod }_{j\in J}\mathcal{C}$ 以及 ${\mathcal{D}}_J^{\otimes }\simeq {\prod }_{j\in J}\mathcal{D}$ 中的 Hom 生象. 由此可知对于每个 $j\in J$, 由于 $L⊣R$ 为伴随函子, 以下复合为同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(({\alpha }_{!}X{)}_j,R{Y}_j)\stackrel{L}{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(L({\alpha }_{!}X{)}_j,LR{Y}_j)\stackrel{{\epsilon }_{Y_j}\circ -}{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(L({\alpha }_{!}X{)}_j,Y_j);$$
2.	只需说明 $R^{\otimes }$ 在 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 之上即可, 为此断言 $\epsilon L^{\otimes }{R}^{\otimes }\Rightarrow {\mathrm{id}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}$ 诱导出同构$$p_{\mathcal{D}}{R}^{\otimes }\simeq p_{\mathcal{C}}{L}^{\otimes }{R}^{\otimes }\stackrel{p_{\mathcal{C}}\epsilon }{\to }{p}_{\mathcal{C}}{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}\simeq p_{\mathcal{C}}.$$证明断言只需逐点的沿 $X\in {\mathcal{D}}^{\otimes }$ 检查即可. 类似地, $R^{\otimes }$ 保持有限乘积也可被逐点检查;
3.	根据伴随的唯一性可知 $R^{\otimes }{\mid }_{\mathcal{D}}=R$.

$\square$

警告 2.13. 在命题 2.12 中, 若仅要求 $L$ 为左松对称幺半函子则是不够的. 但是仅要求 $L$ 是右松对称幺半函子 (无需强对称幺半) 则命题仍然成立, 不过此时造出的左松对称幺半右伴随会更加的微妙. 对偶地, 左松对称幺半函子的左伴随总是具有典范的右松对称幺半结构, 本文只给出左伴随为强对称幺半函子的情况.

命题 2.14. 令 $R:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 为对称幺半范畴间的左松对称幺半函子. 假设 $R$ 作为范畴间的函子具有左伴随 $L:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 并且该左伴随对于全体 $n\ge 0$ 以及对象 $x_1,\cdots ,x_n\in \mathcal{C}$, 都有复合$$L\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{x}_i\right)\stackrel{L\left({⨂}_{i=1}^n{\eta }_{x_i}\right)}{\to }L\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}RL{x}_i\right)\stackrel{{\text{lax}}_R}{\to }LR\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}L{x}_i\right)\stackrel{\epsilon }{\to }\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}L(x_i)$$为同构.

则有以下论述成立:

1.	函子 $R^{\otimes }:{\mathcal{D}}^{\otimes }\to {\mathcal{C}}^{\otimes }$ 具有左伴随 $L^{\otimes }:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathcal{D}}^{\otimes }$;
2.	函子 $L^{\otimes }$ 是算畴间态射;
3.	$L^{\otimes }$ 限制在 $\mathcal{C}$ 上即为 $L$.

特别地, 此时 $R$ 具有强对称幺半的左伴随 $L:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$.

注 2.15. 在实际使用时, 只需对于 $L$ 检查 $n=0$ 以及 $n=2$ 的情况, 即说明有典范同构$$L\left(1_{\mathcal{C}}\right)\simeq 1_{\mathcal{D}}以及L(x\otimes y)\simeq L(x)\otimes L(y).$$

证明.

证明. 根据命题 2.12 的证明, 只需逐点检查左伴随即可.

逐点地定义 $L^{\otimes }$ 为 $L^{\otimes }(\{x_i{\}}_{i\in I}):=\{L(x_i){\}}_{i\in I}$; 令 $X=\{x_i{\}}_{i\in I}$, 则 $L$ 作为伴随函子的单位态射 ${\eta }_{x_i}:x_i\to RL{x}_i$ 诱导出单位态射 ${\eta }_X:X\to R^{\otimes }{L}^{\otimes }X$. 只需说明对于每个对象 $Y\in \mathcal{C}$, 以下复合均为同构$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}(L^{\otimes }X,Y)\stackrel{R^{\otimes }}{\to }{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}(R^{\otimes }{L}^{\otimes }X,R^{\otimes }Y)\stackrel{-\circ {\eta }_X}{\to }{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}(X,R^{\otimes }Y).$$这可以对于任意伸展 $\alpha :I\stackrel{f}{\leftarrow }K\stackrel{g}{\to }J$ 逐纤维地测试得到. 首先令$$X\to {\alpha }_{!}X,L^{\otimes }X\to {\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X,以及R^{\otimes }{L}^{\otimes }X\to {\alpha }_{!}{R}^{\otimes }{L}^{\otimes }X$$为 $\alpha$ 在 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 以及 ${\mathcal{D}}^{\otimes }$ 的推出提升, 且令 ${\mathrm{lax}}_R:{\alpha }_{!}{R}^{\otimes }{L}^{\otimes }X\to R^{\otimes }{\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X$ 为 $R$ 在 $\alpha$ 的推出提升上的左松结构态射. 从而可以得到以下交换图: $${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}^{{\mathrm{id}}_J}({\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X,Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}^{\alpha }(L^{\otimes }X,Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}^{{\mathrm{id}}_J}(R^{\otimes }{\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X,R^{\otimes }Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}^{{\mathrm{id}}_J}({\alpha }_{!}{R}^{\otimes }{L}^{\otimes }X,R^{\otimes }Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}^{{\mathrm{id}}_J}(R^{\otimes }{L}^{\otimes }X,R^{\otimes }Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}({\alpha }_{!}X,R^{\otimes }Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}^{{\mathrm{id}}_J}(X,R^{\otimes }Y).\sim R^{\otimes }{R}^{\otimes }-\circ {\mathrm{lax}}_R-\circ {\alpha }_{!}{\eta }_X\sim -\circ {\eta }_X\sim$$从而只需说明左侧纵向箭头复合为同构. 由于每个 Hom 生象均为 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 与 ${\mathcal{D}}^{\otimes }$ 在 $J$ 上的纤维的 Hom 生象, 因此不妨约化为 $J=⟨1⟩$ 的情况. 考虑纵向复合以及同构 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}({\alpha }_{!}X,RY)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(L{\alpha }_{!}X,Y)$³可以得到态射$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}({\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X,Y)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(L{\alpha }_{!}X,Y),$$接下来说明该态射为同构, 展开定义, 不难发现上述态射由前复合上以下态射给出$$L{\alpha }_{!}X\stackrel{L{\alpha }_{!}{\eta }_X}{\to }L{\alpha }_{!}{R}^{\otimes }{L}^{\otimes }X\stackrel{{\text{lax}}_R}{\to }LR{\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X\stackrel{{\epsilon }_{{\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X}}{\to }{\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X.$$而根据对于 $L$ 的假设可知上述复合为同构. 由此说明左伴随 $L^{\otimes }$ 的存在性. 剩下的论证照搬命题 2.12 即可.

$\square$

幺半子范畴与幺半局部化

本节来介绍幺半子范畴以及幺半局部化的概念, 所谓幺半局部化就是指局部化后仍为对称幺半范畴的局部化.

构造 2.16. 令 $\mathcal{O}\in \mathsf{Op}$ 为算畴, 给定子生象 ${\mathcal{P}}^{\simeq }\subseteq {\mathcal{O}}^{\simeq }$, 令 ${\mathcal{P}}^{\otimes }\subseteq {\mathcal{O}}^{\otimes }$ 为由 ${\mathcal{P}}^{\simeq }$ 中颜色 $x_i\in {\mathcal{P}}^{\simeq }$ 所构成对象 $\{x_i{\}}_{i\in I}$ 张成的全子范畴. 观察到复合 $p_{\mathcal{P}}:{\mathcal{P}}^{\otimes }\hookrightarrow {\mathcal{O}}^{\otimes }\stackrel{p_{\mathcal{O}}}{\to }\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 可以使得 ${\mathcal{P}}^{\otimes }$ 构成算畴, 且 ${\mathcal{P}}^{\otimes }\hookrightarrow {\mathcal{O}}^{\otimes }$ 为算畴态射:

1.	${\mathcal{P}}^{\otimes }$ 的乘法结构遗传自 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$;
2.	由定义可知 ${\prod }_{i\in I}{\mathcal{O}}_{\{i\}}^{\otimes }\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{O}}_I^{\otimes }$ 限制在 ${\prod }_{i\in I}{\mathcal{P}}_{\{i\}}^{\otimes }$ 得到同构 ${\prod }_{i\in I}{\mathcal{P}}_{\{i\}}^{\otimes }\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{P}}_I^{\otimes }$;
3.	由全忠实性, $p_{\mathcal{O}}$-推出态射 $\tilde{f}:{\prod }_{i\in I}{X}_i\to {\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)}$ 若落在 ${\mathcal{P}}^{\otimes }$ 中则其也为 $p_{\mathcal{P}}$-推出态射.

我们将 $\mathcal{P}=({\mathcal{P}}^{\otimes },p_{\mathcal{P}})$ 称为 $\mathcal{O}$ 中由有色子生象 ${\mathcal{P}}^{\simeq }$ 所张成的子算畴.

若 $\mathcal{O}={\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}$ 为对称幺半范畴 $\mathcal{C}$ 对应的算畴, 则选定有色子生象就对应于选定全子范畴 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{C}$. 现在我们来谈论何时 $\mathcal{D}$ 可以通过限制或局部化的方式来继承 $\mathcal{C}$ 的对称幺半结构.

引理 2.17. 令 $(\mathcal{C},{\otimes }_{\mathcal{C}},1_{\mathcal{C}})$ 为对称幺半范畴. 若 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{C}$ 为由包含 $1_{\mathcal{C}}$ 且在 ${\otimes }_{\mathcal{C}}$ 下封闭的有色子生象 ${\mathcal{D}}^{\simeq }\subseteq {\mathcal{C}}^{\simeq }$ 所张成的全子范畴, 则 $\mathcal{D}$ 可继承 $\mathcal{C}$ 中对称幺半结构变为对称幺半范畴 $(\mathcal{D},{\otimes }_{\mathcal{D}},1_{\mathcal{D}})$ 且 $i:\mathcal{D}\hookrightarrow \mathcal{C}$ 为 (强) 对称幺半函子.

证明.

证明. 构造 2.16 说明我们可以得到子算畴 ${\mathcal{D}}^{\otimes }\subseteq {\mathcal{C}}^{\otimes }$, 接下来需要说明的是 ${\mathcal{D}}^{\otimes }\hookrightarrow {\mathcal{C}}^{\otimes }\stackrel{p_{\mathcal{C}}}{\to }\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 仍然为推出纤维化. 根据嵌入的全忠实性可知, 我们只需说明从 $\{x_i{\}}_{i=1}^n\in {\mathcal{D}}_{⟨n⟩}^{\otimes }$ 出发的 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 中的 $p_{\mathcal{C}}$-推出边均在 ${\mathcal{D}}^{\otimes }$ 中即可. 根据 Segal 条件, 一切约化为检验 $\{x_i{\}}_{i=1}^n\to x_1\otimes \cdots \otimes x_n$. 当 $n=0$ 时, 即为 $1_{\mathcal{C}}$. 当 $n=1$ 时, 一切是显然的. 当 $n=2$ 时, 利用 ${\mathcal{D}}^{\simeq }$ 在 ${\otimes }_{\mathcal{C}}$ 封闭即可. 而由于推出态射的复合仍为推出态射, 因此 $n\ge 3$ 时总可以约化为 $n=2$ 的情况.

$\square$

接下来介绍通过局部化的方式继承对称幺半结构的方法. 回忆到 左 Bousfield 局部化是指具有全忠实的右伴随 $i:\mathcal{D}\hookrightarrow \mathcal{C}$ 的函子 $L:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$. 此时若 $L(x\to y)$ 在 $\mathcal{D}$ 中为同构, 则称 $x\to y$ 为 $\mathbf{L}$-(局部) 同构.

命题 2.18. 令 $(\mathcal{C},{\otimes }_{\mathcal{C}},1_{\mathcal{C}})$ 为对称幺半范畴. $i:\mathcal{D}\hookrightarrow \mathcal{C}$ 为全子范畴的嵌入态射, 且 $i$ 具有左伴随 $L:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$. 若对于每个 $L$-同构 $f:x\to y$, 都有 $f{\otimes }_{\mathcal{C}}{\mathrm{id}}_z:x\otimes z\to y\otimes z$ 也为 $L$-同构. 则:

1.	子算畴 ${\mathcal{D}}^{\otimes }\subseteq {\mathcal{C}}^{\otimes }$ 给出 $\mathcal{D}$ 的对称幺半结构;
2.	嵌入 $i^{\otimes }:{\mathcal{D}}^{\otimes }\hookrightarrow {\mathcal{C}}^{\otimes }$ 具有左伴随 $L^{\otimes }$, 它使得 $L$ 为强对称幺半函子.

证明.

证明. 我们分几步来证明该命题的 1.

第一步.	首先说明对于每个伸展 $\alpha :K\stackrel{f}{\leftarrow }S\stackrel{g}{\to }J$ 其诱导出的传输函子$${\alpha }_{!}:{\mathcal{C}}_K^{\otimes }\stackrel{f^{\ast }}{\to }{\mathcal{C}}_S^{\otimes }\stackrel{g_{\otimes }}{\to }{\mathcal{C}}_J^{\otimes },\{x_k{\}}_{k\in K}\mapsto {\left\{\underset{s\in g^{-1}(j)}{⨂}{x}_{f(s)}\right\}}_{j\in J}$$保持 $L$-同构. 此处 $f^{\ast }(\{x_k{\}}_{k\in K}):=\{x_{f(s)}{\}}_{s\in S}$, $g_{\otimes }(\{x_s{\}}_{s\in S}):={\left\{{⨂}_{s\in g^{-1}(j)}{x}_s\right\}}_{j\in J}$. 只需分别验证 $f^{\ast }$ 和 $g_{\otimes }$ 保持 $L$-同构即可, $f^{\ast }$ 保持 $L$-同构是显然的, 以下只说明 $g_{\otimes }$ 也保持 $L$-同构. 这相当于说要说明若对于 $k=1,\cdots ,n$, 有 $x_k\to y_k$ 为 $L$-同构, 则 $x_1\otimes \cdots \otimes x_n\to y_1\otimes \cdots \otimes y_n$ 也为 $L$-同构. 因此不妨将一切约化到 $n=2$ 的情况, 此时可将 $x_1\otimes x_2\to y_1\otimes y_2$ 写为复合$$x_1\otimes x_2\stackrel{(x_1\to y_1)\otimes {\mathrm{id}}_{x_2}}{\to }{y}_1\otimes x_2\stackrel{{\mathrm{id}}_{y_1}\otimes (x_2\to y_2)}{\to }{y}_1\otimes y_2,$$而后根据我们的假设可立即得到结果.
第二步.	我们将说明 $i^{\otimes }$ 会是 $L^{\otimes }$ 的左伴随. 简便起见, 我们直接将 $\mathcal{D}$ 中对象认为是 $\mathcal{C}$ 中对象而忽略 $i$. 根据命题 2.12 的证明过程, 我们的证明思路仍为逐点地构造 $L^{\otimes }$ 并验证其为伴随函子. 定义 $L^{\otimes }(\{x_k{\}}_{k\in K}):=\{L(x_k){\}}_{k\in K}$. 单位态射 ${\eta }_X:X\to L^{\otimes }X$ 由 $\{{\eta }_{x_k}:x_k\to L(x_k){\}}_{k\in K}$ 给出. 只需说明对于任意 $Y\in {\mathcal{D}}^{\otimes }$, 前复合上单位态射诱导出生象同构$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}(L^{\otimes }X,Y)\stackrel{-\circ {\eta }_X}{\to }{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}(X,Y).$$同先前一般, 对于任意伸展 $\alpha :K\stackrel{f}{\leftarrow }S\stackrel{g}{\to }J$, 我们逐纤维地检查这件事. 根据命题 2.12 的证明过程将伸展约化到恒等伸展. 令 $X\to {\alpha }_{!}X$ 以及 $L^{\otimes }X\to {\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X$ 为 $\alpha$ 从 $X$ 以及 $L^{\otimes }X$ 的 $p_{\mathcal{C}}$-推出提升态射. 则有交换图表$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}^{{\mathrm{id}}_J}({\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X,Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}^{{\mathrm{id}}_J}({\alpha }_{!}X,Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}^{\alpha }(L^{\otimes }X,Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}^{\alpha }(X,Y).-\circ {\alpha }_{!}({\eta }_X)\simeq \simeq -\circ {\eta }_X$$因此只需说明最顶部的态射为同构即可. 而根据 ${\mathcal{C}}_J^{\otimes }\simeq {\prod }_{j\in J}{\mathcal{C}}_{\{j\}}^{\otimes }$ 可知我们可以约化到 $j\in J$ 上讨论, 这相当于要说明$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(({\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X{)}_j,Y_j)\stackrel{-\circ {\alpha }_{!}({\eta }_X{)}_j}{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(({\alpha }_{!}X{)}_j,Y_j).$$而利用伴随 $L⊣i$ 可知态射转化为$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(L({\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X{)}_j,Y_j)\stackrel{-\circ L({\alpha }_{!}({\eta }_X{)}_j)}{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(L({\alpha }_{!}X{)}_j,Y_j).$$由 $i$ 的全忠实性可知 ${\eta }_{x_k}:x_k\to L(x_k)$ 为 $L$-同构, 因此由第一步知 ${\alpha }_{!}({\eta }_X{)}_j:{\alpha }_{!}(X{)}_j\to {\alpha }_{!}(L^{\otimes }X{)}_j$ 也为 $L$-同构. 由此给出左伴随 $L^{\otimes }$ 的存在性. 利用命题 2.12 的证明可知 $L^{\otimes }$ 为算畴态射.
第三步.	第三步即说明 ${\mathcal{D}}^{\otimes }\subseteq {\mathcal{C}}^{\otimes }$ 确实给出对称幺半范畴. 为此只需验证 $p_{\mathcal{D}}$ 为推出纤维化即可. 给定任意对象 $X\in {\mathcal{D}}^{\otimes }$ 以及伸展 $\alpha$, 以下说明存在从 $X$ 出发的 $\alpha$ 的 $p_{\mathcal{D}}$-推出提升. 我们将说明这个提升实际上是$$X\to {\alpha }_{!}X\stackrel{\eta }{\to }{L}^{\otimes }{\alpha }_{!}X,$$此处第一个态射为 $p_{\mathcal{C}}$-提升. 以下说明该态射确为 $p_{\mathcal{D}}$-推出态射, 任取 $Y\in {\mathcal{D}}^{\otimes }$, 以下说明交换图表$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}(L^{\otimes }{\alpha }_{!}X,Y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}(X,Y){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(J,K){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(I,K)p_{\mathcal{D}}{p}_{\mathcal{D}}-\circ \alpha$$为拉回图表. 而根据 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{\otimes }}(L^{\otimes }{\alpha }_{!}X,Y)\simeq {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}({\alpha }_{!}X,Y)$ 约化为 $X\to {\alpha }_{!}X$ 为 $p_{\mathcal{C}}$-推出态射.

以下说明 2. 只需说明 $L^{\otimes }$ 是强对称幺半的即可, 即其将 $p_{\mathcal{C}}$-推出态射映为 $p_{\mathcal{D}}$-推出态射. 给定 $p_{\mathcal{C}}$-推出态射 $X\to {\alpha }_{!}X$, 我们需要说明 $L^{\otimes }X\to L^{\otimes }{\alpha }_{!}X$ 即为 $L^{\otimes }X\to {\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X\stackrel{\eta }{\to }{L}^{\otimes }{\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X$. 而由于 ${\eta }_X:X\to L^{\otimes }X$ 为 $L$-同构, 因此 ${\alpha }_{!}X\to {\alpha }_{!}{L}^{\otimes }X$ 也为 $L$-同构, 因此得到结果.

$\square$

以下记载一个满足命题 2.18 条件的特例.

引理 2.19. 令 $\mathcal{C}$ 为对称幺半范畴, 且对于每个 $x\in \mathcal{C}$, 函子 $-\otimes x:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 总有右伴随 ${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{C}}(x,-):\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ (即 $\mathcal{C}$ 为闭的). 令 $\mathcal{D}$ 为 $\mathcal{C}$ 中满足以下条件的全子范畴:

•	$\mathcal{D}\hookrightarrow \mathcal{C}$ 具有左伴随 $L$;
•	对于每个 $x\in \mathcal{D}$ 以及 $z\in \mathcal{C}$, 都有 ${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{C}}(z,x)\in \mathcal{D}$.

则 $\mathcal{D}$ 具有使得 $L$ 为对称幺半函子的对称幺半结构.

证明.

证明. 只需验证命题 2.18 的条件即可. 现令 $f:x\to y$ 为 $L$-同构, 且 $z\in \mathcal{C}$ 为任意对象, 现说明 $L(f\otimes {\mathrm{id}}_z)$ 在 $\mathcal{D}$ 中可逆. 而根据 Yoneda 引理, 可转化为说明对于任意 $w\in \mathcal{D}$, 都有$$(f\otimes {\mathrm{id}}_z{)}^{\ast }:{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(y\otimes z,w)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x\otimes z,w)$$为同构, 而利用伴随关系可知一切约化为说明$$f^{\ast }:{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(y,{\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{C}}(z,w))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,{\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{C}}(z,w))$$为同构, 由于 ${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{C}}(z,w)\in \mathcal{D}$ 这无非是 $f$ 为 $L$-同构在 Yoneda 引理下的直接结果.

$\square$

$\mathcal{O}$-幺半范畴

在先前两节中, 我们已经充分讨论了对称幺半范畴及其若干结果. 但事实上, 我们可将对称幺半范畴变为一般的算畴 $\mathcal{O}$, 即将 $\mathsf{Comm}$ 换为 $\mathcal{O}$.

定义 2.20. 令 $\mathcal{D}$ 为带有限乘积的范畴, $\mathcal{D}$ 中的 $\mathcal{O}$-幺半群是指保持乘积的函子, 记$${\mathsf{Mon}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{D}):={\mathsf{Fun}}^{\times }({\mathcal{O}}^{\otimes },\mathcal{D})\subseteq \mathsf{Fun}({\mathcal{O}}^{\otimes },\mathcal{D})$$为全体 $\mathcal{O}$-幺半群构成的全子范畴.

定义 2.21. $\mathcal{O}$-幺半范畴是指 $\mathsf{Cat}$ 中的 $\mathcal{O}$-幺半群.

例 2.22.

•	当 $\mathcal{O}=\mathsf{Assoc}$ 时, 所得到的 $\mathcal{O}$-幺半范畴称为幺半范畴.
•	当 $\mathcal{O}=\mathsf{Triv}$ 时, 所得到的 $\mathcal{O}$-幺半范畴即为范畴.

定义 2.4 所给出的多元态射算畴函子 $\mathcal{M}:{\mathsf{Cat}}^{\otimes }\hookrightarrow \mathsf{Op}$ 也可推广到 $\mathcal{O}$ 上得到函子$${\mathcal{M}}_{-/\mathcal{O}}:{\mathsf{Mon}}_{\mathcal{O}}(\mathsf{Cat})\to (\mathsf{Op}{)}_{/\mathcal{O}}.$$由于在 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$(或者说 $\mathsf{Comm}$) 上, 这件事情由引理 2.3 所确保. 接下来我们给出其在 $\mathcal{O}$-幺半范畴上的对应版本.

引理 2.23. 令 $\mathcal{O}$ 为算畴且 $q:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}^{\otimes }$ 为推出纤维化. 则复合$${\mathcal{C}}^{\otimes }\stackrel{q}{\to }{\mathcal{O}}^{\otimes }\stackrel{p_{\mathcal{O}}}{\to }\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$$将 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 变为算畴当且仅当 $\mathrm{St}(q):{\mathcal{O}}^{\otimes }\to \mathsf{Cat}$ 保持有限乘积. 此时, $q:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}^{\otimes }$ 自动升级为算畴间的态射.

证明. 证明与引理 2.3 无异.

$\square$

定义 2.24. 给定 $\mathcal{O}$-幺半范畴 $\mathcal{C}$, 令 $p_{\mathcal{C}}:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}^{\otimes }$ 为其反直化, 引理 2.23 定义出算畴 ${\mathcal{M}}_{\mathcal{C}/\mathcal{O}}=({\mathcal{C}}^{\otimes },p_{\mathcal{O}}\circ p_{\mathcal{C}})$. 由于 $p_{\mathcal{C}}$ 是算畴间态射, 因此 ${\mathcal{M}}_{\mathcal{C}/\mathcal{O}}$ 为 ${\mathsf{Op}}_{/\mathcal{O}}$ 中对象, 由此给出函子$${\mathcal{M}}_{-/\mathcal{O}}:{\mathsf{Mon}}_{\mathcal{O}}(\mathsf{Cat})\to (\mathsf{Op}{)}_{/\mathcal{O}}.$$如果 $\mathcal{P}\to \mathcal{O}$ 以及 $\mathcal{Q}\to \mathcal{O}$ 为两个 $\mathcal{O}$ 上的算畴, 将 ${\mathsf{Fun}}_{{\mathsf{Op}}_{/\mathcal{O}}}(\mathcal{P},\mathcal{Q})$ 定义为$${\mathsf{Fun}}_{{\mathsf{Op}}_{/\mathcal{O}}}(\mathcal{P},\mathcal{Q}){\mathsf{Fun}}_{\mathsf{Op}}(\mathcal{P},\mathcal{Q})\ast {\mathsf{Fun}}_{\mathsf{Op}}(\mathcal{P},\mathcal{O}).\text{┘}$$此时, 定义 $\mathcal{C}$ 上的 $\mathcal{P}/\mathcal{O}$-代数为$${\mathsf{Alg}}_{\mathcal{P}/\mathcal{O}}(\mathcal{C}):={\mathsf{Fun}}_{{\mathsf{Op}}_{/\mathcal{O}}}(\mathcal{P},{\mathcal{M}}_{\mathcal{C}/\mathcal{O}}).$$

类似地, 可以给出松 $\mathcal{O}$-幺半函子.

定义 2.25. 给定 $\mathcal{O}$-幺半范畴 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$. 从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的松 $\mathcal{O}$-幺半函子是指 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 上的算畴态射 ${\mathcal{M}}_{\mathcal{C}/\mathcal{O}}\to {\mathcal{M}}_{\mathcal{D}/\mathcal{O}}$.

最后给出命题 2.12 以及命题 2.14 的类比.

命题 2.26. 令 $L:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为 $\mathcal{O}$-幺半范畴间的 $\mathcal{O}$-幺半函子. 如果对于每个 $o\in \mathcal{O}$, $L_o:{\mathcal{C}}_o\to {\mathcal{D}}_o$ 都具有右伴随 $R_o:{\mathcal{D}}_o\to {\mathcal{C}}_o$. 则函子 $L^{\otimes }:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathcal{D}}^{\otimes }$ 也具有右伴随 $R^{\otimes }:{\mathcal{D}}^{\otimes }\to {\mathcal{C}}^{\otimes }$, 且其为 $\mathcal{O}$ 上的算畴态射. 特别地, $L$ 具有松 $\mathcal{O}$-幺半右伴随 $R$.

命题 2.27. 令 $R:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 为 $\mathcal{O}$-幺半范畴间的 $\mathcal{O}$-幺半函子. 如果满足以下条件:

1.	对于任意颜色 $o\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$, 函子 $R_o:{\mathcal{D}}_o\to {\mathcal{C}}_o$ 都具有左伴随 $L_o:{\mathcal{C}}_o\to {\mathcal{D}}_o$;
2.	对于每个多元态射 $\alpha :X=(x_1,\cdots ,x_n)\to y$, 复合变换$$L_y{\alpha }_{!}(-)\stackrel{\eta }{\to }{L}_y{\alpha }_{!}(R_X{L}_X(-))\stackrel{{\mathrm{lax}}_R^{\alpha }}{\to }{L}_y{R}_y{\alpha }_{!}{L}_X(-)\stackrel{\epsilon }{\to }{\alpha }_{!}{L}_X(-)$$为同构.

则 $R^{\otimes }:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathcal{D}}^{\otimes }$ 具有左伴随 $L^{\otimes }:{\mathcal{D}}^{\otimes }\to {\mathcal{C}}^{\otimes }$, 它会是 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 上的推出纤维化间的态射. 特别地 $R$ 具有强 $\mathcal{O}$-幺半左伴随 $L$.

3参考资料, 脚注及翻译

参考资料

•	Jacob Lurie (2017). Higher Algebra. (pdf)

脚注

1.	^ 这与 Lurie 在 [Lurie 2017] 中的记号略有差异.
2.	^ 由于香蕉空间的引用 Bug, 不得不做出以下声明
3.	^ 由于 $J=⟨1⟩$, 因此此时是在范畴 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{D}$ 上谈论.

翻译

术语翻译

算畴 • 英文 operad

有色生象 • 美式英文 anima of colors

颜色 • 美式英文 color

惰性态射 • 英文 inert morphism

活性态射 • 英文 active morphism

左松对称幺半函子 • 英文 lax symmetric monoidal functor

右松对称幺半函子 • 英文 oplax symmetric monoidal functor