Bousfield 局部化

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

Bousfield 局部化是范畴论中的一种有伴随函子关系的局部化 (又称反射局部化).

1定义

定义-命题 1.1. 令 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ 为范畴, 给定伴随则:

1.	$R$ 为全忠实函子当且仅当余单位 $c:LR\Rightarrow 1_{\mathcal{D}}$ 为同构;
2.	$\mathcal{C}$ 中态射 $X\stackrel{f}{\to }Y$ 在 $L$ 下的像为同构当且仅当其为左 $\mathbf{R}$-局部同构, 即对于任意 $D\in \mathcal{D}$, $f$ 均诱导态射生象上的同构$$f^{\ast }:\mathcal{C}(Y,RD)\to \mathcal{C}(X,RD).$$常常舍弃 “左” 而以 $R$-局部同构来指代左 $R$-局部同构.

此外, 若 1. 的等价条件成立, 则:

3.	单位 $u:C\to RLC$ 总是 $R$-局部同构;
4.	$L:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为关于 $R$-局部同构的局部化.

此时称 $L$ 为 $\mathcal{C}$ 关于 $R$-局部同构的左 Bousfield 局部化. 特别地, 此时 $\mathcal{C}[W_R^{-1}]$ 是局部小范畴, $W_R$ 为 $R$-局部同构所构成的集合, 此时也将 $\mathcal{D}$ 中对象称为 $\mathbf{R}$-局部对象. 对偶地, 定义右 Bousfield 局部化.

2性质

以下命题给出范畴局部化为 Bousfield 局部化的条件.

命题 2.1. 令 $W\subseteq {\pi }_0(\mathsf{Ar}(\mathcal{C}{)}^{\simeq })$ 为一族态射, 且记 $\mathcal{C}$ 关于 $W$ 的局部化为 $p:\mathcal{C}\to \mathcal{C}[W^{-1}]$. 则 $\mathcal{C}[W^{-1}]$ 中态射 $\tau :pX\to Y$ 将 $X$ 表为 $Y$ 在 $p$ 下的右伴随对象当且仅当 $\tau$ 是同构, 且 $\mathcal{C}(-,X):{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Ani}$ 将 $W$ 中的全体态射映为同构.

特别地, $p$ 的右伴随 $R$ 是自动全忠实的且其本质像为左 $R$-局部对象所张成的全子范畴, 即使得 $\mathcal{C}(-,C):{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Ani}$ 将左 $R$-局部同构映为同构的 $C\in \mathcal{C}$.

命题 2.2. 令 $L:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为左 Bousfield 局部化, 且 $\mathcal{C}$ 为完备或余完备的, 则 $\mathcal{D}$ 也是完备或余完备的. 更进一步, 可以将图表 $K:\mathcal{I}\to \mathcal{D}$ 的极限和余极限 (如果存在) 刻画为$${\mathrm{colim}}_{\mathcal{I}}K\simeq L({\mathrm{colim}}_{\mathcal{I}}RK)\text{和}{\lim }_{\mathcal{I}}K\simeq L({\lim }_{\mathcal{I}}RK).$$

命题 2.3. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴且 $L:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 为使得本质像 $L\mathcal{C}\subseteq \mathcal{C}$ 的函子. 则以下条件等价:

1.	存在函子 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 及其全忠实右伴随 $g:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 使得 $g\circ f\simeq L$;
2.	将 $L$ 视为 $\mathcal{C}\to L\mathcal{C}$ 这一函子时, $L$ 是含入函子 $L\mathcal{C}\hookrightarrow \mathcal{C}$ 的左伴随;
3.	存在从 $1_{\mathcal{C}}$ 到 $L$ 的自然变换 $\alpha :\mathcal{C}\times [1]\Rightarrow \mathcal{C}$ 使得对于任意 $C\in \mathcal{C}$ 都有 $L(\alpha (C)),\alpha (L(C)):LC\to LLC$ 为等价.

3例子

下例又称$\mathbf{\Omega }$-谱的 Bousfield 局部化

例 3.1. 令 $E$ 为 $\Omega$-谱,

•	称 $\mathsf{Sp}$ 中态射 $f:X\to Y$ 为 $\mathbf{E}$-局部同构是指其诱导出同构 $f\otimes E:X\otimes E\to Y\otimes E$.
•	称 $L\in \mathsf{Sp}$ 是 $\mathbf{E}$-局部的是指对于任意 $E$-局部同构 $f:X\to Y$ 均可诱导态射谱之间的同构 $f^{\ast }:\text{map}(Y,L)\to \text{map}(X,L)$.

令 ${\mathsf{Sp}}_E\subseteq \mathsf{Sp}$ 为由 $E$-局部对象所张成的全子范畴, 则该嵌入存在左伴随 $L_E:\mathsf{Sp}\to {\mathsf{Sp}}_E$ 使得 ${\mathsf{Sp}}_E$ 为 $\mathsf{Sp}$ 关于 $E$-局部同构的左 Bousfield 局部化.

例 3.2. 采用同调约定, 考虑配有 t 结构的稳定范畴 $\mathcal{C}$, 则截断 ${\tau }_{\le n}:\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}_{\le n}$ 是左 Bousfield 局部化.

4相关概念

•	局部化 (范畴论)
•	伴随函子