闭幺半范畴

在范畴论中, 闭幺半范畴是指具有张量–同态伴随的幺半范畴.

1定义

定义 1.1. 称幺半范畴 $(\mathcal{C},\otimes )$ 为:

•	左闭幺半范畴, 指对任意 $X\in \mathcal{C}$, 函子 $X\otimes -$ 有右伴随. 此右伴随通常记作 ${\underline{\mathrm{Hom}}}^{左}(X,-)$, 称为左内 $\mathrm{Hom}$ 函子.
•	右闭幺半范畴, 指对任意 $X\in \mathcal{C}$, 函子 $-\otimes X$ 有右伴随. 此右伴随通常记作 ${\underline{\mathrm{Hom}}}^{右}(X,-)$, 称为右内 $\mathrm{Hom}$ 函子.

如 $\mathcal{C}$ 是对称幺半范畴, 则以上两个概念一样, 称为闭幺半, 对应的右伴随记作 $\underline{\mathrm{Hom}}(X,-)$, 称为内 $\mathrm{Hom}$ 函子.

注 1.2. 容易发现 (左、右) 内 $\mathrm{Hom}$ 函子对第一个变量也有函子性, 即它们实际上是双函子 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}$.

2例子

•	交换环 $A$ 上的模构成的范畴是闭幺半范畴, 其中幺半范畴的张量运算就是模的张量积, 内态射是同态模, 它们都有自然的 $A$-模结构.

•	域上 Hopf 代数上的模构成闭幺半范畴, 也构成刚性幺半范畴.

3性质

(...)

4相关概念

•

刚性幺半范畴

术语翻译

闭幺半范畴 • 英文 closed monoidal category • 德文 abgeschlossene monoidale Kategorie • 法文 catégorie monoïdale fermée • 拉丁文 categoria monoides clausa • 古希腊文 κλειστὴ μονοειδὴς κατηγορία

内 $\mathrm{Hom}$ • 英文 internal $\mathrm{Hom}$