闭幺半范畴

在范畴论中, 闭幺半范畴是指具有张量–幂伴随的幺半范畴.

1定义

定义 1.1. 称幺半范畴 $(\mathcal{C},\otimes )$ 为:

•	左闭幺半范畴, 指对任意 $X\in \mathcal{C}$, 函子 $X\otimes -$ 有右伴随. 此右伴随通常记作 ${\underline{\mathrm{Hom}}}^{\mathrm{L}}(X,-)$, 称为左幂函子.
•	右闭幺半范畴, 指对任意 $X\in \mathcal{C}$, 函子 $-\otimes X$ 有右伴随. 此右伴随通常记作 ${\underline{\mathrm{Hom}}}^{\mathrm{R}}(X,-)$, 称为右幂函子.

如 $\mathcal{C}$ 是对称幺半范畴, 则以上两个概念相同, 称为闭幺半范畴. 对应的右伴随称为幂函子, 其常用记号包括: $$(-{)}^X,\underline{\mathrm{Hom}}(X,-),\mathrm{Map}(X,-),$$等等.

上述这些幂函子对 $X$ 也有函子性, 因此, (左、右) 幂函子通常指的是对应的二元函子 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}$.

2例子

•	交换环 $A$ 上的模构成的范畴是闭幺半范畴, 其中幺半范畴的张量运算就是模的张量积, 幂函子是同态模, 它们都有自然的 $A$-模结构.

•	域上 Hopf 代数上的模构成闭幺半范畴, 也构成刚性幺半范畴.

3性质

(...)

4相关概念

•

刚性幺半范畴

术语翻译

闭幺半范畴 • 英文 closed monoidal category • 德文 abgeschlossene monoidale Kategorie • 法文 catégorie monoïdale fermée • 拉丁文 categoria monoides clausa • 古希腊文 κλειστὴ μονοειδὴς κατηγορία

幂函子 • 英文 internal Hom