用户: Cybcat/曲线模空间/JS第二讲

1第二讲

动机

鉴于读者应该都有很好的代数和几何基础, 我就速通. 为了引入模空间, 原作者花了一页纸的篇幅展示了这样一个例子. 说 ${\mathbb{P}}^1$ 就是 ${\mathbb{C}}^2$ 中过原点的直线的模空间. 这里的关键在于, (模空间) ${\mathbb{P}}^1$ 是有 (比起作为对象的集合额外) 结构的. 比如在解析拓扑上看, 这样一列直线 $y=x/k$ 趋于 $y=0$. 所以模空间上的点 $[k:1]$ 趋于 $[1:0]$. 又比如代数上看, 就是要求直线的代数参数族对应 ${\mathbb{P}}^1$ 上的代数族, 准确地说, 设 $\mathbf{X}$ 是概形, 则 $\mathbf{X}$ 参数的直线族, 双射于 $\mathbf{X}\to {\mathbb{P}}^1$ 的概形态射.

概形映射 $X\to {\mathbb{P}}^1$ 决定了它上面的结构这种事, 我们马上就会有一个范畴论看法.

模函子和精模空间

让我们逐渐给出严谨的陈述和定义, 先步入范畴论. 用 ${\mathsf{Sch}}_{\mathbb{C}}$ 表示 $\mathbb{C}$-概形的范畴. 对 $M\in \mathrm{Ob}({\mathsf{Sch}}_{\mathbb{C}})$, 可以定义函子$$h^M:{\mathsf{Sch}}_{\mathbb{C}}^{\text{op}}\to \mathsf{Set},X\mapsto \mathrm{Mor}(X,M).$$这种函子称为可表函子. 立刻我们就引入 Yoneda 引理以及几个有关的定义:

引理 1.1 (Yoneda). 如下的函子$$h^{\bullet }:{\mathsf{Sch}}_{\mathbb{C}}\to \mathrm{Fun}({\mathsf{Sch}}_{\mathbb{C}}^{\text{op}},\mathsf{Set})$$是满忠实的嵌入, 用另外的话说, 给定概形 $M,N$, 则态射 $M\to N$ 与 $h^M\to h^N$ 的自然变换形成双射, 特别地, $M\cong N$ 当且仅当 $h^M\cong h^N$.

定义 1.2. 一个模函子是一个 $\mathrm{Fun}({\mathsf{Sch}}_{\mathbb{C}}^{\text{op}},\mathsf{Set})$ 中的元素.

换言之, 它要满足一定的函子性: 对 $f:X^{\prime }\to X$ 我们有 $h(f):h(X)\to h(X^{\prime })$ 满足 $h({\mathrm{id}}_X)={\mathrm{id}}_{h(X)}$, 还有 $h(f\circ g)=h(f)\circ h(g)$.

定义 1.3. 说一个模函子 $h$ 可表指它自然同构某个 $h^M$. 该概形 $M$ 称为 $h$ 的精模空间.

让我们来回到之前的例子:

例 1.4. 我们来说明 ${\mathbb{P}}^n$ 是 ${\mathbb{C}}^{n+1}$ 中过原点直线的精模空间. 对应的模函子是: 将 $X$ 映射到上述交换图的等价类, 图的信息乃是说: $L\to X$ 是线丛 $X$ 上的全空间, 该线丛是 $X\times {\mathbb{C}}^{n+1}\to X$ 的子丛. 显然 $X^{\prime }\to X$ 的映射也能带来线丛上的拉回 $f^{\ast }$. 满足 $g^{\ast }{f}^{\ast }L\cong (g\circ f{)}^{\ast }L$.

线丛 $L$ 的信息带来一个正合列: $$0\to L\to {\mathcal{O}}_X^{n+1}\to Q\to 0,$$取对偶就等价于得到这样的正合列: $$0\to Q^{\vee }\to {\mathcal{O}}_X^{n+1}\to L^{\vee }\to 0.$$换言之, 检查 $X\to {\mathbb{P}}^n$ 的映射对应了 $X$ 上的一个线丛和 $n+1$ 个没有公共零点的截面. 对一个映射 $\phi :X\to {\mathbb{P}}^n$, 我们也能从线丛 ${\phi }^{\ast }{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}(1)$ 中找到 $n+1$ 个自然的截面. 即 $\mathcal{O}(1)$ 中的 $x_0,\cdots ,x_n$ 的拉回.

这么来看, 原原本本的模问题对应的线丛即为 ${\phi }^{\ast }\mathcal{O}(-1)$, 只是上面我们通过对偶自然变换了一下这个模函子, 虽说没有改变被 ${\mathbb{P}}^n$ 表出的事实, 但是发生了从取 $\mathcal{O}(-1)$ 到取 $\mathcal{O}(1)$ 的变化.

注 1.5. 实际上我们有更加直接的构造方法, 给定 $i:L\to X\times {\mathbb{C}}^{n+1}$ 于 $h(X)$. 设 $L^{\prime }\subset L$ 为零截面的补集, 由于 $i$ 是单射, $L^{\prime }$ 被映到 $X\times ({\mathbb{C}}^{n+1}\backslash \{0\})$. 考虑图表这里 $\pi$ 是先投影到后一个分量然后再自然打到 ${\mathbb{P}}^n$, 注意到 $\pi \circ i$ 在 $X$ 的纤维上常值, 于是 (代数的角度说) 由平坦下降 (fpqc 下降) 技术, (分析上就比较平凡, 光滑性的下降很容易), 我们得到了 $X\to {\mathbb{P}}^n$ 的映射 $\phi$. 这自然诱导了 $h\cong h^{{\mathbb{P}}^n}$. 对过程有严谨强迫症的读者可以阅读 Stacks project 的 Tag $023Q$.

定义 1.6. 对于可表的模函子 $h\cong h^M$, 定义它的万有族为 $U\in h(M)$ 对应了典范的元素 ${\mathrm{id}}_M\in \mathrm{Mor}(M,M)=h^M(M)$.

在 Yoneda 引理的证明中 (读者可以自己尝试着证明它), 不难感受到这个万有族的重要性.

例 1.7. 对任意概形 $X$ 和族 $F\in h(X)$, 存在唯一的态射 $f:X\to M$ 使得 $U$ 沿 $f$ 拉回得到 $F$, 即 $h(f)(U)=F$.

例 1.8. 例如对于 ${\mathbb{C}}^{n+1}$ 中过原点的直线, 前述例子中最原本的描述, 它对应的万有族为 tautological 线丛 ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}(-1)$. 尤其是上面这个注中的构造, 立刻就能看出来它到底有多么 "tautological". 不过后来的对偶描述, 它对应的万有族就变成了 ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}(1)$.

应用: Picard 概形

截至前文, 我们见到的例子还是比较简单的, ${\mathbb{P}}^n$ 这种空间大家都很熟悉, 下面来介绍一些有人会感到陌生的对象 Picard 概形. 先不说别的, Picard 群大家都见过了, 对概形 $Y$: $$\mathrm{Pic}(Y):=\{L:L\text{是}Y\text{上的线丛}\}/\text{等价}.$$它分类了 $Y$ 上的线丛. 本来线丛在 $\otimes$ 下构成群并不那么稀奇, 但是在模空间的点子下, 我们应该能想到, $\mathrm{Pic}(Y)$ 应该不止有集合和群结构才对!

$\mathrm{Pic}(\mathbf{Y})$ 其实是一个模空间!

让我们来定义模函子, 对概形 $X$, 我们需要定义 "$X$ 参数的一族 $Y$ 上的线丛 ", 为了做到这一点, 自然的想法是观察 $X\times Y$ 上的线丛. 最朴素的想法就是:

定义 1.9. 我们定义绝对 Picard 函子$${\mathrm{Pic}}_Y(X):=\mathrm{Pic}(X\times Y).$$对 $f:X^{\prime }\to X$, 我们定义 ${\mathrm{Pic}}_Y(X)\to {\mathrm{Pic}}_Y(X^{\prime })$ 为沿着 $f\times {\mathrm{id}}_Y$ 拉回.

这听起来很棒, 但是沙壁的事情是它不可表:

命题 1.10. 绝对 Picard 函子 ${\mathrm{Pic}}_Y$ 对非空的 $Y$ 都不可表.

证明.

$\square$

注 1.11. 上面的命题更加证实了如下模空间理论的箴言:

不平凡的自同构常导致模函子不可表 (精模空间不存在).

请记住这句话, 我们将在过去, 现在, 还有未来无数次见证这个道理.

让我们做第二次尝试:

定义 1.12. 我们定义相对 Picard 函子$${\mathrm{Pic}}_{Y/\mathbb{C}}(X):=\mathrm{Pic}(X\times Y)/{\pi }_X^{\ast }\mathrm{Pic}(X).$$其中 ${\pi }_X:X\times Y\to X$ 为到第一个分量的投影. 对 $f:X^{\prime }\to X$, 我们仍定义 ${\mathrm{Pic}}_Y(X)\to {\mathrm{Pic}}_Y(X^{\prime })$ 为沿着 $f\times {\mathrm{id}}_Y$ 拉回.

令人震惊的是, 若 $Y$ 是 $\mathbb{C}$ 上的整射影概形, 此时该函子确实是可表的. 将函子 (不引起歧义下也将对应的概形) 记为 ${\mathbf{Pic}}_{Y/\mathbb{C}}$.

粗模空间

正如我们在前一节中看到的, 很多时候对于像 ${\mathrm{Pic}}_Y$ 这样合理的函子来说, 考虑精模空间要求实在有点高. 于是我们提出粗模空间的定义, 用来 " 逼近可表 " 一个模函子.

定义 1.13. 对模函子 $h$, 一个粗模空间是一个对子 $(M,\Phi )$, 其中 $M$ 是概形, $\Phi :h\to h^M$ 是自然变换, 满足两个条件:

(a) $(M,\Phi )$ 是所有上述自然变换中的始对象, 即这样的泛性质: 任意 $(M^{\prime },{\Phi }^{\prime })$ 我们都有如下的交换图表.

(b) 映射 $\Phi (\mathrm{Spec}\mathbb{C})$ 诱导双射: $$\Phi (\mathrm{Spec}\mathbb{C}):h(\mathrm{Spec}\mathbb{C})\stackrel{\sim }{\to }{h}^M(\mathrm{Spec}\mathbb{C})=M(\mathbb{C}).$$

泛性质 (a) 保证了粗模空间若存在则唯一. 另外显然一个精模空间是一个粗模空间.

命题 1.14. 假设精模空间 ${\mathbf{Pic}}_{Y/\mathbb{C}}$ 存在, 证明自然映射$$\Phi :{\mathrm{Pic}}_Y\to {\mathrm{Pic}}_{Y/\mathbb{C}}\cong h^{{\mathbf{Pic}}_{Y/\mathbb{C}}}$$使 $({\mathbf{Pic}}_{Y/\mathbb{C}},\Phi )$ 成为 ${\mathrm{Pic}}_Y$ 的粗模空间.