平坦下降

平坦下降, 又叫忠实平坦下降, 是交换代数和代数几何中一类命题的统称, 其表述为对平坦景中的开覆盖 $\{U_i\to U\}$, 从基于 $\{U_i\}$ 的对象和性质可以得到基于 $U$ 的对象和性质.

1陈述

对象的下降

对象的下降可以视为 “粘接性质” 在景上的推广, 例如, 对概形 $S$ 以及它在 Zariski 拓扑意义下的开覆盖 $\{U_i\to U\}$, 给定每个开集 $U_i$ 上的层 ${\mathcal{F}}_i$, 如果将这些层在他们的公共区域相容地粘起来, 则可以得到 $U$ 上的层. 在叠的语言中, 这即是说一些 fpqc 景上的函子构成叠.

命题 1.1 (层的下降). 记 $\mathcal{C}$ 是 fpqc 景, 函子$$\begin{array}{c}X\mapsto \mathsf{QCoh}(X)\\ X\mapsto \mathsf{Coh}(X)\\ X\mapsto \mathsf{Vect}(X)\end{array}$$构成 $\mathcal{C}$ 上的叠. 其中后面三范畴分别为 $X$ 上的拟凝聚层范畴, 凝聚层范畴, 局部自由层范畴. 具体地说, 对开覆盖 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$, 有

•	对 $U$ 上的拟凝聚层 (凝聚层, 局部自由层) $\mathcal{M}$, $\mathcal{N}$, 有如下正合列: $${\mathrm{Hom}}_U(\mathcal{M},\mathcal{N})\to \prod _i\mathrm{Hom}({\mathcal{M}}_i,{\mathcal{N}}_i)\rightrightarrows \prod _{ij}\mathrm{Hom}({\mathcal{M}}_{ij},{\mathcal{N}}_{ij})$$其中下标表示相应的拉回层, 而 $U_{ij}:=U_i{\times }_U{U}_j$, 箭头由相应的投影诱导.
•	记 $U_{ijk}=U_i{\times }_U{U}_j{\times }_U{U}_k$. 给定一族拟凝聚层 (凝聚层, 局部自由层), 如果给定了同构 ${\mathcal{M}}_i{|}_{U_{ij}}\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{M}}_j{|}_{U_{ij}}$, 使得图表交换, 那么存在拟凝聚层 (凝聚层, 局部自由层) $\mathcal{M}$, 以及同构 $\mathcal{M}{|}_{U_i}\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{M}}_i$, 使得图表

命题 1.2 (概形的下降). 下面三函子构成 fpqc 景上的叠: $$\begin{array}{c}X\mapsto \mathsf{Aff}(X)\\ X\mapsto \mathsf{QAff}(X)\\ X\mapsto \mathsf{AlgSp}(X)\end{array}$$其中三范畴分别为 $X$ 上的仿射态射, 拟仿射态射, 代数空间构成的范畴. (如果只考虑这些范畴中满足某些条件, 例如平坦, 平展的对象, 结论仍然正确).

性质的下降

对 fpqc 景上的开覆盖 $\{U_i\to U\}$, $U_i$ 上的性质可以反推 $U$ 的性质, 这是 Zariski 拓扑下局部性质在平坦景下推广. 例如:

命题 1.3 (层性质的下降). 对概形 $U$ 上的层 $\mathcal{F}$, 如果其在每个 $U_i$ 上的拉回层都是拟凝聚层 (凝聚层, 局部自由层), 那么 $\mathcal{F}$ 本身也满足此性质.

命题 1.4 (态射性质的下降). 对概形 $U$ 以及态射 $X\to U$, 如果其在每个 $U_i$ 上的基变换满足某态射性质 (例如分离, 紧合, 平坦, 平展, 光滑, 仿射, 有限), 那么 $X$ 本身也满足此性质.

2推论

命题 2.1. 对 $X$ 上 fpqc 景与 Zariski 景之间的态射$$u:X_{\mathrm{fpqc}}\to X_{\mathrm{Zar}},$$函子$$u^{\ast }:\mathsf{QCoh}(X_{\mathrm{Zar}})\to \mathsf{QCoh}(X_{\mathrm{fpqc}})$$是范畴等价, 其中二范畴分别为相应赋环空间上的拟凝聚层 (凝聚层, 局部自由层) 范畴.

3相关概念

•	叠
•	平坦景
•	h 下降

术语翻译

平坦下降 • 英文 flat descent • 德文 flacher Abstieg • 法文 descente plate