用户: Kokic/IUTT

1记号

Numbers

•	$\text{NF}$ 指数域. $\text{MLF}$ 指混特征非 Archimedean 局部域. $\text{CAF}$ 指复 Archimedean 局部域.
•	记素数集为 $\mathfrak{Primes}$. 以 $♯S$ 表示 (一个集合) $S$ 的势.
•	for any nonzero integer $n\notin \{-1,1\}$, $\text{rad}(n)$ for the product of the distinct prime numbers $p$ which divide $n$. define $\text{rad}(1)=\text{rad}(-1)=1$.
•	$\overline{\mathbb{Q}}$ be an algebraic closure of the field of rational numbers $\mathbb{Q}$. $F\in \overline{\mathbb{Q}}$ a subfield, write ${\mathcal{O}}_F\in F$ for the ring of integers of a field $F$. $\mathbb{Z}\stackrel{\text{def}}{=}{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}}$, $\mathfrak{Primes}\subseteq \mathbb{Z}$.
•	$F$ 是数域 [i.e. 有理数域的有限扩张, $[F:\mathbb{Q}]<\infty$], $F$ 的赋值 [位点 / 绝对值] 集写为 $\mathbb{V}=\mathbb{V}(F{)}^{\text{arc}}\cup \mathbb{V}(F{)}^{\text{non}}$, 也即 $F$ 的 Archimedean 赋值集 [i.e. $\mathbb{V}(F{)}^{\text{arc}}$] 与非 Archimedean 赋值集 [i.e. $\mathbb{V}(F{)}^{\text{non}}$] 的并. 如果 $F$ 是有理数域 $\mathbb{Q}$ 或虚二次域, 那么称 $F$ 单复, 容易验证 $F$ 单复 $⟺\mathbb{V}(F{)}^{\text{arc}}$ 的势为一. 取 $v\in \mathbb{V}(F)$, 以 $F_v$ 表示 $F$ 在 $v$ 处的完备. $L$ 是 $F$ 的任意 [可能无限] Galois 扩张, 轻微滥用记号, $L_v$ 表示 $L$ 在某些值 $\in \mathbb{V}(L)$ (that lies over $v$) 处的完备 ∘ 若 $v\in \mathbb{V}(F{)}^{\text{non}}$, $p_v$ 表示 $v$ 的剩余特征. ${\mathfrak{p}}_v\subseteq {\mathcal{O}}_F$ for the prime ideal corresponding to $v$. $f_v$ for the residue field degree of $F_v$ over ${\mathbb{Q}}_{p_v}$. $$\Vert x{\Vert }_v\stackrel{\text{def}}{=}{p}_v^{-{\text{ord}}_v(x)},|x{|}_v\stackrel{\text{def}}{=}\Vert x{\Vert }_v^{[F_v:{\mathbb{Q}}_{p_v}]}$$ ∘ 若 $v\in \mathbb{V}(F{)}^{\text{arc}}$, $p_v$ 表示 $F_v$ 当中唯一的正实元, 其自然对数等于 $1$.

通过适当的投影或归纳极限, 也将对 $F$ 作为 $\mathbb{Q}$ 的无限扩张采用 $\mathbb{V}(F)$, $F_v$, $p_v$ 这种符号.

Evaluation

•

素数 $l>5$, $\underline{v}\in {\underline{\mathbb{V}}}^{\text{bad}}$, $q_{\underline{v}}$ 表给定数域 $F$ 上的椭圆曲线 $E_F$ 在 $\underline{v}$ 处的 $q$-参数化, $U_{\underline{v}}$ 表示 $\underline{v}$ 处对 $E_F$ 进行局部化而获得的 Tate 曲线上的标准乘法坐标. theta 函数 $${\underline{\underline{\Theta }}}_{\underline{v}}\stackrel{\text{def}}{=}\left\{\right(\sqrt{-1}\cdot \sum _{m\in \mathbb{Z}}{q}_{\underline{v}}^{\frac{1}{2}(m+\frac{1}{2}{)}^2}{)}^{-1}\cdot (\sum _{n\in \mathbb{Z}}(-1{)}^n\cdot q_{\underline{v}}^{\frac{1}{2}(n+\frac{1}{2}{)}^2}\cdot U_{\underline{v}}^{n+\frac{1}{2}}){\}}^{-\frac{1}{l}}$$

Monoid

•

Theta 幺半群 ${\Psi }_{\text{env}}({\Pi }_{\underline{v}})$$${\Psi }_{\mathrm{env}}({\Pi }_{\underline{v}})\stackrel{\text{def}}{=}{\Psi }_{\mathrm{cns}}({\Pi }_{\underline{v}}{)}^{\times }\times \left\{{\mathbb{R}}_{\ge 0}\cdot {\log }^{{\Pi }_{\underline{v}}}(p_{\underline{v}})\cdot {\log }^{{\Pi }_{\underline{v}}}(\underline{\underline{\Theta }})\right\}$$

•

Gauss 幺半群 ${\Psi }_{\text{gau}}({\Pi }_{\underline{v}})$ $$\begin{array}{rl}{\Psi }_{\mathrm{gau}}({\Pi }_{\underline{v}})& \stackrel{\text{def}}{=}{\Psi }_{\mathrm{cns}}({\Pi }_{\underline{v}}{)}_{⟨{\mathbb{F}}_l^{\divideontimes }⟩}^{\times }\times \left\{{\mathbb{R}}_{\ge 0}\cdot \left(\dots ,j^2\cdot {\log }^{{\Pi }_{\underline{v}}}(p_{\underline{v}}),\dots \right)\right\}\\ & \subseteq \prod _{j\in {\mathbb{F}}_l^{\divideontimes }}{\Psi }_{\text{cns}}^{\text{ss}}({\Pi }_{\underline{v}}{)}_j=\prod _{j\in {\mathbb{F}}_l^{\divideontimes }}{\Psi }_{\mathrm{cns}}^{\text{ss}}({\Pi }_{\underline{v}}{)}_j^{\times }\times {\mathbb{R}}_{\ge 0}({\Pi }_{\underline{v}}{)}_j\end{array}$$

术语翻译

混特征 • 英文 mixed characteristic

单复 • 英文 mono-complex