纯 Hodge 结构

纯 Hodge 结构是复数域上光滑紧合代数簇的奇异上同调自然带有的结构的抽象.

1定义

固定 $w\in \mathbb{Z}$.

定义 1.1. 权为 $\mathbf{w}$ 的纯 Hodge 结构指二元组 $(H_{\mathbb{Z}},F^{\bullet }H)$, 其中 $H_{\mathbb{Z}}$ 是有限生成 $\mathbb{Z}$-模, $F^{\bullet }H$ 是 $\mathbb{C}$-线性空间 $H:=H_{\mathbb{Z}}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{C}$ 上的有限 (下降) 滤链, 满足:

•	对任意整数 $p$, 自然映射 $F^{p}H\oplus \overline{F^{w-p+1}H}\to H$ 是同构.

这里上划线表示 $H=H_{\mathbb{Z}}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{C}$ 中的复共轭, 即 $h\otimes c\mapsto h\otimes \bar{c}$. 此时对 $p+q=w$ 记 $H^{p,q}:=F^{p}H\cap \overline{F^{q}H}$, 则不难发现 $\overline{H^{p,q}}=H^{q,p}$, 且自然映射$$\underset{p+q=w}{⨁}{H}^{p,q}\to H$$是同构. 权为 $w$ 的纯 Hodge 结构构成 Abel 范畴, 记作 $\mathsf{HS}(w)$.

有时也会考虑没有 $\mathbb{Z}$-模结构的纯 Hodge 结构.

定义 1.2 (复 Hodge 结构). 权为 $\mathbf{w}$ 的纯复 Hodge 结构指三元组 $(H,F^{\bullet }H,{\bar{F}}^{\bullet }H)$, 其中 $H$ 是有限维 $\mathbb{C}$-线性空间, $F^{\bullet }H$ 和 ${\bar{F}}^{\bullet }H$ 是 $H$ 的两个有限 (下降) 滤链, 满足

•	对任意整数 $p$, 自然映射 $F^{p}H\oplus {\bar{F}}^{w-p+1}H\to H$ 是同构.

对 $p+q=w$ 记 $H^{p,q}:=F^{p}H\cap {\bar{F}}^{q}H$, 则不难发现自然映射$$\underset{p+q=w}{⨁}{H}^{p,q}\to H$$是同构. 权为 $w$ 的纯复 Hodge 结构构成 Abel 范畴, 记作 $\mathsf{HS}(\mathbb{C},w)$.

对权为 $w$ 的纯复 Hodge 结构 $(H,F^{\bullet }H,{\bar{F}}^{\bullet }H)$, 其共轭指权为 $w$ 的纯复 Hodge 结构 $(\bar{H},F^{\bullet }\bar{H},\overline{F^{\bullet }H})$, 其中:

•	$\bar{H}$ 指 $H$ 的共轭, 即作为集合 $\bar{H}=H$, 但复数 $c$ 在 $\bar{H}$ 上的数乘是其共轭 $\bar{c}$ 在 $H$ 的数乘.
•	$\overline{F^{\bullet }H}$ 指 $F^{\bullet }H$ 的共轭, 自然视为 $\bar{H}$ 的滤链.
•	$F^{\bullet }\bar{H}$ 指 ${\bar{F}}^{\bullet }H$ 的共轭, 自然视为 $\bar{H}$ 的滤链.

定义 1.3 ($A$-Hodge 结构). 设 $A\subseteq \mathbb{C}$ 是复数域的子 Noether 环. 权为 $\mathbf{w}$ 的纯 $\mathbf{A}$-Hodge 结构指三元组 $(H_A,F^{\bullet }H,{\bar{F}}^{\bullet }H)$, 满足:

•	$H_A$ 是有限生成 $A$-模, $F^{\bullet }H$ 和 ${\bar{F}}^{\bullet }H$ 是 $H:=H_A{\otimes }_A\mathbb{C}$ 的两个有限 (下降) 滤链, 使得 $(H,F^{\bullet }H,{\bar{F}}^{\bullet }H)$ 是权为 $w$ 的纯复 Hodge 结构.
•	如 $A\subseteq \mathbb{R}$, 则 $\mathbb{C}$-线性空间 $H$ 和 $\bar{H}$ 通过 $h\otimes c\mapsto h\otimes \bar{c}$ 自然同构; 此时要求 ${\bar{F}}^{\bullet }H=\overline{F^{\bullet }H}$, 这里 $\bar{H}$ 的滤链 $\overline{F^{\bullet }H}$ 通过上述同构视为 $H$ 的滤链. 从而 ${\bar{F}}^{\bullet }H$ 由 $F^{\bullet }H$ 决定, 故也把 Hodge 结构写成二元组 $(H_A,F^{\bullet }H)$.

权为 $w$ 的纯 $A$-Hodge 结构构成 Abel 范畴, 记作 $\mathsf{HS}(A,w)$. 当 $A=\mathbb{Z}$ 时, 这就是定义 1.1 中的 $\mathsf{HS}(w)$.

2例子

例 2.1 (Tate Hodge 结构). 对 $w\in \mathbb{Z}$, 考虑 $\mathbb{C}$ 的秩 $1$ 自由 $\mathbb{Z}$-子模 $\mathbb{Z}(2\pi \mathrm{i}{)}^w\subset \mathbb{C}$ 以及滤链$$F^p\mathbb{C}=\{\begin{array}{ll}\mathbb{C},& p\le w;\\ 0,& p>w;\end{array}$$这构成权为 $2w$ 的纯 Hodge 结构, 称为权为 $2\mathbf{w}$ 的 Tate Hodge 结构, 记作 $\mathbb{Z}(-w)$ 或 $\mathbb{Z}(-w{)}^{\mathrm{Hodge}}$. 这里 $\mathbb{Z}$ 显然可以换成任意的子环 $A\subseteq \mathbb{C}$, 所得 Hodge 结构记作 $A(-w)$ 或 $A(-w{)}^{\mathrm{Hodge}}$ (亦参见命题 3.1).

例 2.2 (复代数簇的奇异上同调). 设 $X$ 是 $\mathbb{C}$ 上光滑、紧合的代数簇, $w\in \mathbb{Z}$. 考虑拓扑空间 $X(\mathbb{C})$ 的奇异上同调 $H^w(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z})$, 则由代数 de Rham 定理, $$H^w(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}){\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{C}=H^w(X(\mathbb{C}),\mathbb{C})=H_{\mathrm{dR}}^w(X/\mathbb{C}).$$考虑代数 de Rham 复形的暴力滤链$$F^p{\Omega }_{X/\mathbb{C}}^{\bullet }=[\cdots \to 0\to {\Omega }_{X/\mathbb{C}}^0\to \cdots \to {\Omega }_{X/\mathbb{C}}^p\to 0\to \cdots ],$$并取其导出整体截面的 $w$ 阶上同调, 记作$$F^p{H}_{\mathrm{dR}}^w(X/\mathbb{C}):=H^w(F^p{\Omega }_{X/\mathbb{C}}^{\bullet }).$$则 $(H^w(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}),F^{\bullet }{H}_{\mathrm{dR}}^w(X/\mathbb{C}))$ 构成权为 $w$ 的纯 Hodge 结构, 称为 $X$ 的 $\mathbf{w}$ 阶上同调. 如 $X$ 连通、复 $w$ 维, 则此 Hodge 结构通过顶维微分形式取积分同构于 Tate Hodge 结构 $\mathbb{Z}(-w)$.

3性质

命题 3.1. 对 Noether 子环 $A\subseteq B\subseteq \mathbb{C}$ 及任意 $w\in \mathbb{Z}$, 基变换 $(H_A,F^{\bullet }H,{\bar{F}}^{\bullet }H)\mapsto (H_B:=H_A{\otimes }_{A}B,F^{\bullet }H,{\bar{F}}^{\bullet }H)$ 给出右正合函子 $\mathsf{HS}(A,w)\to \mathsf{HS}(B,w)$.

命题 3.2. 设 $w>w^{\prime }$ 为整数, $(H,F^{\bullet }H,{\bar{F}}^{\bullet }H)$ 是权为 $w$ 的纯复 Hodge 结构, $(H^{\prime },F^{\bullet }{H}^{\prime },{\bar{F}}^{\bullet }{H}^{\prime })$ 是权为 $w^{\prime }$ 的纯复 Hodge 结构. 则三元组 $(H,F^{\bullet }H,{\bar{F}}^{\bullet }H)$ 到 $(H^{\prime },F^{\bullet }{H}^{\prime },{\bar{F}}^{\bullet }{H}^{\prime })$ 没有非零映射.

证明. 任取映射 $f:(H,F^{\bullet }H,{\bar{F}}^{\bullet }H)\to (H^{\prime },F^{\bullet }{H}^{\prime },{\bar{F}}^{\bullet }{H}^{\prime })$. 只需对任意的 $p+q=w$ 证明 $f$ 在 $H^{p,q}$ 上是 $0$. 而这是因为 $f(H^{p,q})\subseteq F^p{H}^{\prime }\cap {\bar{F}}^q{H}^{\prime }\subseteq F^p{H}^{\prime }\cap {\bar{F}}^{w^{\prime }-p+1}{H}^{\prime }=0$, 由于 $w^{\prime }-p+1\le w-p=q$.

$\square$

4相关概念

•	混 Hodge 结构

术语翻译

纯 Hodge 结构 • 英文 pure Hodge structure