混 Hodge 结构

混 Hodge 结构是复数域上未必光滑紧合的代数簇的奇异上同调自然带有的结构的抽象.

1定义

引理 1.1. 设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, $({\mathcal{A}}_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ 是其一族满子 Abel 范畴, 满足对任意 $n>n^{\prime }$, $H\in {\mathcal{A}}_n$, $H^{\prime }\in {\mathcal{A}}_{n^{\prime }}$, 都有 $\mathrm{Hom}(H,H^{\prime })=0$. 考虑加性范畴 $\mathcal{W}\mathcal{A}$, 定义为 $\mathcal{A}$ 的有限 (上升) 滤对象范畴的满子范畴, 由满足如下条件的滤对象 $W_{\bullet }H$ 构成:

•	对任意 $n\in \mathbb{Z}$, ${\mathrm{gr}}_n^{W}H\in {\mathcal{A}}_n$.

则 $\mathcal{W}\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, 且其中任一单射 $f:W_{\bullet }H\to W_{\bullet }{H}^{\prime }$ 都是严格的, 也就是说 $W_{n}H=f^{-1}(W_n{H}^{\prime })$.

定义 1.2. 设 $A\subseteq \mathbb{C}$ 是复数域的子 Noether 环. 暂以 $\mathcal{A}$ 记三元组 $(H_A,F^{\bullet }H,{\bar{F}}^{\bullet }H)$ 构成的 Abel 范畴, 其中 $H_A$ 是 $A$-模, $F^{\bullet }H$ 是一链 $\mathbb{C}$-线性空间$$\cdots \to F^{1}H\to F^{0}H\to F^{-1}H\to \cdots \to H:=H_A{\otimes }_A\mathbb{C},$$${\bar{F}}^{\bullet }H$ 是另一链. 则对 $n\in \mathbb{Z}$, 权为 $n$ 的纯 $A$-Hodge 结构在 $\mathcal{A}$ 中构成满子范畴, 暂记作 ${\mathcal{A}}_n$. 由纯 Hodge 结构的性质, $\mathcal{A}$ 的满子范畴族 $({\mathcal{A}}_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ 满足引理 1.1 的条件. 混 $\mathbf{A}$-Hodge 结构的 Abel 范畴便指引理 1.1 在这种情况下给出的范畴 $\mathcal{W}\mathcal{A}$, 通常记作 $\mathsf{MHS}(A)$. 混 Hodge 结构指混 $\mathbb{Z}$-Hodge 结构, 其范畴记作 $\mathsf{MHS}$.

具体地说, 混 $\mathbf{A}$-Hodge 结构是四元组 $(H_A,W_{\bullet }{H}_A,F^{\bullet }H,{\bar{F}}^{\bullet }H)$, 其中 $H_A$ 是有限生成 $A$-模, $W_{\bullet }{H}_A$ 是其有限上升滤链, $F^{\bullet }H$ 和 ${\bar{F}}^{\bullet }H$ 是 $H:=H_A{\otimes }_A\mathbb{C}$ 的有限下降滤链, 满足对任意 $n\in \mathbb{Z}$, $$\left(\frac{W_n{H}_A}{W_{n-1}{H}_A},\frac{F^{\bullet }H\cap W_{n}H}{F^{\bullet }H\cap W_{n-1}H},\frac{{\bar{F}}^{\bullet }H\cap W_{n}H}{{\bar{F}}^{\bullet }H\cap W_{n-1}H}\right)$$是权为 $n$ 的纯 $A$-Hodge 结构.

2例子

3性质

4相关概念

•

混 Hodge 模

术语翻译

混 Hodge 结构 • 英文 mixed Hodge structure