Yoneda 引理

Yoneda 引理 (或米田引理) 是范畴论中的一个基本的结论. Yoneda 引理说明, 范畴中的对象由所有别的对象到它的态射决定: 例如, 如果有两个对象, 使得任意别的对象到它们的态射集都 (自然地) 同构, 那么这两个对象就同构 (推论 2.2).

基于 Yoneda 引理, 我们可以把范畴中的对象看作范畴上的预层, 这也被称为 Yoneda 嵌入 (推论 2.1). 基于这种观点, 范畴上的预层常常被视为范畴中的广义对象.

Yoneda 引理也是伴随函子理论 (从而, 泛性质理论)、可表函子理论建立的基础.

1叙述和证明

定义 1.1 (Yoneda 嵌入). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, 记 $\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 为 $\mathcal{C}$ 到集合范畴的所有反变函子构成的函子范畴. 这个范畴也被称为 $\mathcal{C}$ 上预层的范畴. 函子$$\begin{array}{rl}y:\mathcal{C}& \to \mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\\ c& \mapsto \mathcal{C}(-,c)\end{array}$$称为 Yoneda 嵌入. (至于它为什么被称为 “嵌入”, 见推论 2.1.) 它把每个元素 $c\in \mathcal{C}$ 映到一个函子 $y(c)=\mathcal{C}(-,c)$, 通常记为$$h_c:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set},$$称为被 $c$ 表出的函子, 或被 $c$ 表出的预层.

注 1.2. 在乘积范畴–函子范畴伴随下, 我们有$$\mathsf{Fun}(\mathcal{C}\times {\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})\simeq \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})).$$在这个对应关系下, Yoneda 嵌入对应于 Hom 函子$$\begin{array}{rl}\mathrm{Hom}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{C}& \to \mathsf{Set},\\ (c,d)& \mapsto \mathcal{C}(c,d).\end{array}$$

定理 1.3 (Yoneda 引理). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴. 对任意的 $X\in \mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$, 有自然同构$$\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})(h_c,X)\simeq X(c).$$换言之, 预层 $X$ 在 $c$ 的取值等于 “从 $c$ 到 $X$ 的态射集”.

证明. 假设我们有自然变换$$\eta :\mathcal{C}(-,c)\Rightarrow X.$$则对任意态射 $f\in \mathcal{C}(b,c)$, 有交换图$$\mathcal{C}(c,c)X(c)\mathcal{C}(b,c)X(b)\text{ .}{\eta }_c\mathcal{C}(f,c)X(f){\eta }_b$$考虑左上角的元素 $1_c\in \mathcal{C}(c,c)$. 若记 $\xi ={\eta }_c(1_c)\in X(c)$, 则 $1_c$ 在交换图中被映到下列元素: $$1_c\xi fX(f)(\xi )\text{.}$$这说明, 自然变换 $\eta$ 被元素 $\xi \in X(c)$ 完全确定.

$\square$

注 1.4. 对于协变函子而言, 同理, 我们也有 Yoneda 嵌入$$\begin{array}{rl}y:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}& \to \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Set}),\\ c& \mapsto h^c=\mathcal{C}(c,-).\end{array}$$此时, Yoneda 引理说明对任意 $X\in \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Set})$, 有自然同构$$\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Set})(h^c,X)\simeq X(c).$$

2推论

推论 2.1. 设 $\mathcal{C}$ 是范畴. 则 Yoneda 嵌入 (定义 1.1) $$y:\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$$是全忠实函子.

证明. 在定理 1.3 中取 $X=h_d$ , 得到自然同构$$\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})(h_c,h_d)\simeq \mathcal{C}(c,d).$$$\square$

推论 2.2. 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, 设 $c,d\in \mathcal{C}$. 如果有自然同构 $h_c\simeq h_d$, 即$$\mathcal{C}(-,c)\simeq \mathcal{C}(-,d),$$那么 $c,d$ 在 $\mathcal{C}$ 中同构.

$\square$

3推广

•	充实范畴 Yoneda 引理
•	$2$-范畴 Yoneda 引理
•	无穷范畴 Yoneda 引理

4相关概念

•	Brown 可表性定理
•	Tannaka–Krein 对偶

术语翻译

Yoneda 引理 • 英文 Yoneda lemma • 德文 Lemma von Yoneda • 法文 Lemme de Yoneda