俯范畴

俯范畴 (也称为切片范畴) 是范畴中到某个对象的所有态射构成的范畴. 范畴 $\mathcal{C}$ 于对象 $x$ 上的俯范畴通常记为 ${\mathcal{C}}_{/x}$.

与俯范畴对偶的概念是仰范畴.

1定义

定义 1.1 (俯范畴). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $x\in \mathcal{C}$ 是对象. 则 $\mathcal{C}$ 于 $x$ 上的俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/x}$ 定义如下:

•	其对象为 $\mathcal{C}$ 中态射 $y\stackrel{f}{\to }x$.
•	从 $y\stackrel{f}{\to }x$ 到 $y^{\prime }\stackrel{f^{\prime }}{\to }x$ 的态射为 $y\stackrel{g}{\to }{y}^{\prime }$, 使得 $f^{\prime }\circ g=f$: $$y{y}^{\prime }x\text{ .}gf{f}^{\prime }$$

注 1.2. 俯范畴是逗号范畴的特例.

2例子

•	若 $\ast \in \mathcal{C}$ 为终对象, 则有范畴等价 ${\mathcal{C}}_{/\ast }\simeq \mathcal{C}$.

•	在概形范畴 $\mathsf{Sch}$ 中, 概形 $S$ 上的俯范畴 ${\mathsf{Sch}}_{/S}$ 也称为 $S$-概形的范畴.

3性质

命题 3.1. 俯范畴中的积对象对应原本的范畴里的拉回.

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4推广

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5相关概念

术语翻译

俯范畴 • 英文 over category