9. 纤维同伦与同伦纤维

道路空间

定义 9.1. 给定空间 $X\in \underline{\mathcal{T}}$, 以及 $x\in X$, 定义

•	自由道路空间: $PX=\mathrm{Map}(I,X)$ 以及
•	定点道路空间: $P_{x}X=\mathrm{Map}((I,0),(X,x))$.

可以定义 “来源” 以及 “目标” 映射如下对于道路 $\gamma \in PX$, $p_0(\gamma )=\gamma (0)$ 为 $\gamma$ 的起始点且 $p_1(\gamma )={\gamma }_1$ 为 $\gamma$ 的终点. 它诱导出$$p=(p_0,p_1):PX\to X\times X$$

定理 9.2. 令 $X\in \underline{\mathcal{T}}$. 则

1.	$p:PX\to X\times X$ 为纤维化.
2.	映射 $p_0:PX\to X$ 是在 $x_0$ 处的纤维为 $P_{x_0}X$ 的纤维化.
3.	映射 $p_1:P_{x_0}X\to X$ 是在 $x_0$ 处纤维为 ${\Omega }_{x_0}X$ 的纤维化.
4.	$p_0:PX\to X$ 为同伦等价. $P_{x_0}X$ 是可缩的.

证明.

1.	只需要说明以下提升问题有解即可根据指数律, 可以等价为延拓问题观察到 $\{0\}\times I\cup I\times \partial I$ 为 $I\times I$ 的形变收缩, 因此提升存在.
2.	由于纤维化的复合仍为纤维化, 考虑可知 $p_0$ 确实为纤维化, 而后考虑 $x_0\in X$ 在 $p_0$ 下的逆像, 由上图可知其对应于 $p^{-1}(x_0,X)=\mathrm{Map}((I,0),(X,x_0))=P_{x_0}X$.
3.	考虑图表不难看出这是拉回图表, 而后由纤维化在拉回下稳定可知左侧纵向态射也为纤维化. 至于纤维不过简单验证.
4.	不过为道路的收缩, 在第 2 节中我们已然见过.

$\square$

定义 9.3. 令 $f:X\to Y$ 为连续映射. 定义映射道路空间 $P_f$ 为以下拉回

$P_f$ 中的元素为有序对 $(x,\gamma )$ 其中 $\gamma$ 为 $Y$ 中以 $f(x)$ 为终点的道路. 令$$\iota :X\hookrightarrow P_f,x\mapsto (x,1_{f(x)})$$表示常值道路映射且令 $p:P_f\to Y$ 表示道路的起始点. 我们有

定理 9.4. $\iota :X\to P_f$ 为强形变收缩 (因此为同伦等价) 且 $p:P_f\to Y$ 为纤维化. 特别地, 任意映射 $f:X\to Y$ 都可以表述为一个同伦等价和一个纤维化的复合.

证明. 第一段命题来自于道路的形变收缩, 接下来说明 $p$ 是纤维化. 考虑拉回图表由此推知 $P_f\to Y\times X$ 为纤维化. 因 $Y\times X\to Y$ 也为纤维化, 因此复合$$p:P_f\to Y\times X\to Y.$$也为纤维化.

$\square$

该定理说明在 $\underline{h\mathcal{T}}$ 中, 每个态射都等价于一个纤维化.

纤维同伦

定义 9.5. 令 $p_1:E_1\to B$ 以及 $p_2:E_2\to B$ 为两个纤维化. 从 $p_1$ 到 $p_2$ 的纤维映射为使得 $p_1=p_2\circ f$ 的映射 $f:E_1\to E_2$, 或者说使得下述图表交换的 $f$ 考虑两个纤维映射 $f_0,f_1:p_1\to p_2$, 若存在从 $f_1$ 到 $f_2$ 的同伦 $F:E_1\times I\to E_2$ 使得 $F(-,t)$ 对于每个 $t\in I$ 均为纤维映射, 则称 $f_1$ 与 $f_2$ 是纤维同伦的, 简记为$$f_0{\simeq }_B{f}_1.$$对于纤维映射 $f:p_1\to p_2$, 若存在 $g:p_2\to p_1$ 使得 $g\circ f$ 且 $f\circ g$ 纤维同伦于恒等映射, 则称 $f$ 为纤维同伦等价.

命题 9.6. 令 $p_1:E_1\to B$ 以及 $p_2:E_2\to B$ 为两个纤维化, 且 $f:E_1\to E_2$ 为纤维映射. 假定 $f:E_1\to E_2$ 为同伦等价, 则 $f$ 为纤维同伦等价. 特别地, $f:p_1^{-1}(b)\to p_2^{-1}(b)$ 对于任意 $b\in B$ 均为同伦等价.

证明. 我们只需要说明对于任意是同伦等价的纤维映射 $f:E_1\to E_2$, 存在纤维映射 $g:E_2\to E_1$ 使得 $g\circ f{\simeq }_{B}1$. 事实上, 这样的 $g$ 也是同伦等价, 因此可以找到 $h:E_1\to E_2$ 使得 $h\circ g{\simeq }_{B}1$. 从而 $f{\simeq }_{B}h\circ g\circ f{\simeq }_{B}h$, 即 $f\circ g{\simeq }_{B}1$.
令 $g:E_2\to E_1$ 表示同伦类 $[f]$ 在 $\underline{h\mathcal{T}}$ 中的逆.
首先说明可以选出作为纤维映射的 $g$, 即使得 $p_1\circ g=p_2$ 的 $g$ 因此下图中 $p_1\circ g=p_2$. 另一方面, 观察到 $p_1\circ g\simeq p_2\circ f\circ g\simeq p_2$. 由于 $p_1$ 为纤维化, 可以将 $p_1\circ g\simeq p_2$ 这一同伦提升为同伦 $g\simeq g^{\prime }$. 则 $g^{\prime }$ 为纤维映射, 从而我们可以将 $g$ 替换为 $g^{\prime }$, 这样就说明了我们总是可以找出一个纤维映射出来. 现在假设 $g:E_2\to E_1$ 为纤维映射. 问题就可以约化为以下 “断言”: 令 $p:E\to B$ 为纤维化且 $f:E\to E$ 为同伦于 $1_E$ 的纤维映射, 则存在纤维映射 $h:E\to E$ 使得 $h\circ f{\simeq }_{B}1$.
事实上, 令 $f:E_1\to E_2$ 为命题所给的纤维映射, $g$ 为由前文所选定的使得 $g\circ f\simeq 1$ 的纤维映射. “断言” 说明我们可以找到纤维映射 $h:E_1\to E_1$ 使得 $h\circ g\circ f{\simeq }_{B}1$. 从而纤维映射 $\tilde{g}=h\circ g$ 具有所需的条件 $\tilde{g}\circ f{\simeq }_{B}1$.
现在我们来证明 “断言”. 令 $F$ 为从 $f$ 到 $1_E$ 的同伦且 $G=p\circ F$. 由于 $p$ 为纤维化, 可以构造从 $1_E$ 开始并且提升 $G$ 的同伦 $H$. 图解如下将两个同伦相结合, 可以得到从 $h\circ f$ 到 $1_E$ 的同伦 $\tilde{F}$, 它提升以下同伦$$\tilde{G}:E\times I\to B,\tilde{G}(-,t)=\{\begin{array}{ll}G(-,2t),& 0\le t\le 1/2\\ G(-,2-2t),& 1/2<t\le 1\end{array}.$$图解如下构造映射 $K:E\times I\times I\to B$ 给出 $\tilde{G}:E\times I\to B$ 与投影 $E\times I\to E\stackrel{p}{\to }B$ 之间的同伦 (通过推移 $\tilde{G}$ 中两份 $G$ 的位置): $$\begin{array}{rl}K(-,u,0)& =\tilde{G}(-,u),\\ K(-,u,1)& =p(-),\\ K(-,0,t)& =p(-),\\ K(-,1,t)& =p(-),\forall u,t\in I.\end{array}$$由于 $p$ 为纤维化, 可以找到 $K$ 的提升 $\tilde{K}:E\times I\times I\to E$ 使得$$\tilde{K}(-,u,0)=\tilde{F}(-,u).$$从而有如下的纤维同伦$$h\circ f=\tilde{K}(-,0,0){\simeq }_B\tilde{K}(-,0,1){\simeq }_B\tilde{K}(-,1,1){\simeq }_B\tilde{K}(-,1,0)=1_E.$$

$\square$

同伦纤维

定义 9.7. 令 $f:X\to Y$ 为拓扑空间之间的连续映射, 定义其在 $y\in Y$ 上的同伦纤维为 $P_f\to Y$ 在 $y$ 上的纤维.

命题 9.8. 若 $Y$ 是道路连通的拓扑空间, 则 $f:X\to Y$ 的所有同伦纤维都是同伦等价的.

证明. 令 $y_1$ , $y_2\in Y$, 且 $F_1$, $F_2$ 为 $y_1$ , $y_2$ 上的同伦纤维, 则$$F_i=\{(x,\gamma )|\gamma :I\to Y,\gamma (0)=y_i,\gamma (1)=f(x)\}$$而后复合上 $Y$ 中从 $y_1$ 到 $y_2$ 的道路就给出 $F_1$ 到 $F_2$ 的同伦等价.

$\square$

这种情形我们一般归结为下述图表其中 $F$ 表示同伦纤维.

命题 9.9. 若 $f:X\to Y$ 为纤维化, 则其在 $y$ 上的同伦纤维同伦等价于 $f^{-1}(y)$.

证明. 我们有交换图表其中 $\iota$ 为同伦等价. 则根据命题 9.6 可知 $\iota$ 为纤维同伦等价.

$\square$

推论 9.10. 令 $f:X\to Y$ 为纤维化且 $Y$ 道路连通. 则 $f$ 的全体纤维都是同伦等价的.

证明. 给点 $y_1$, $y_2\in Y$, 它们的纤维 $f^{-1}(y_1)$, $f^{-1}(y_2)$ 同伦等价于对应的同伦纤维. 而后由全体同伦纤维均同伦等价推知结果.

$\square$

回顾下述定理, 它给出一个实践中非常有用的纤维化判据.

定理 9.11. 令 $p:E\to B$ 且 $B$ 为仿紧 Hausdorff 空间. 若 $B$ 上存在开覆盖 $\{U_{\alpha }\}$ 使得 $p^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }$ 为纤维化. 则 $p$ 也为纤维化.

推论 9.12. 令 $p:E\to B$ 为纤维丛且 $B$ 仿紧 Hausdorff. 则 $p$ 为纤维化.

脚注