10. Puppe 序列

定义 10.1. (在 ${\mathsf{Set}}_{\ast }$ 中) 给定一列带点集合之间的映射$$(A,a_0)\stackrel{f}{\to }(B,b_0)\stackrel{g}{\to }(C,c_0).$$若 $\mathrm{im}(f)=\ker (g)$ 则称其在 $B$ 处是正合的, 其中 $\mathrm{im}(f)=f(A)$ 且 $\ker (g)=g^{-1}(c_0)$.
考虑序列$$\cdots \to A_{n+1}\to A_n\to A_{n-1}\to \cdots$$若其在每个 $A_i$ 上都是正合的, 则称其为正合列.

例 10.2. 令 $H⊲G$ 为 $G$ 的正规子群. 则在 $\mathsf{Group}$ (此处, 我们通过规定群以其幺元为基点将 $\mathsf{Group}$ 视为 ${\mathsf{Set}}_{\ast }$ 的子范畴) 中有下述短正合列$$1\to H\to G\to G/H\to 1$$

定义 10.3. 给定 $\underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中一列映射$$\cdots \to X_{n+1}\to X_n\to X_{n-1}\to \cdots$$称其为正合的, 若对于任意 $Y\in \underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ , 带点集所构成的序列$$\cdots \to [Y,X_{n+1}{]}_0\to [Y,X_n{]}_0\to [Y,X_{n-1}{]}_0\to \cdots$$正合.

本节旨在通过正合列来研究同伦群之间的关系.

定义 10.4. 令 $f:(X,x_0)\to (Y,y_0)$ 为 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中的态射. 定义其在 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中的同伦纤维 $F_f$ 为拉回显式写出即为$$F_f=\{(x,\gamma )\in X\times PY|\gamma (0)=y_0,\gamma (1)=f(x)\}.$$

回忆到定理 9.2 中已然说明 $p_1:P_{y_0}Y\to Y$ 为纤维化, 因此

引理 10.5. $\pi :F_f\to X$ 是纤维化.

注意到 $F_f$ 即为 $P_f\to Y$ 在 $y_0$ 上的纤维:这与定义 9.7 是一致的. 在本节中, 我们将强调基点的作用.
接下来的引理与命题 9.9 是一样的. 为方便起见, 我们在此进行重申.

引理 10.6. 若 $f:X\to Y$ 为纤维化, 则 $f^{-1}(y_0)$ 同伦等价于其同伦纤维 $F_f$.

对于任意映射 $f:X\to Y$, 我们仍有典范映射$$j:f^{-1}(y_0)\to F_f,$$它不一定同伦等价.
由于同伦纤维在纤维化中表现良好, 因此它常常作为同伦范畴中纤维的良好替代.

引理 10.7. $\underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中的序列$$F_f\stackrel{\pi }{\to }X\stackrel{f}{\to }Y$$在 $X$ 处是正合的.

证明. 令 $y_0$ 为 $Y$ 的基点. 首先观察到 $f\circ \pi$ 穿过 $P_{y_0}Y$(可缩). 因此 $f\circ \pi$ 为零伦.
令 $Z\in \underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$. 考虑$$[Z,F_f{]}_0\stackrel{{\pi }_{\ast }}{\to }[Z,X{]}_0\stackrel{f_{\ast }}{\to }[Z,Y{]}_0.$$由于 $f\circ \pi$ 是零伦的, $\mathrm{im}({\pi }_{\ast })\subset \ker (f_{\ast })$.
令 $g:Z\to X$ 使得 $[g{]}_0\in \ker f_{\ast }$ , 因此 $f\circ g$ 零伦. 令 $G$ 为 $f\circ g$ 到平凡映射的带点同伦: $$G:Z\times I\to Y.$$由于 $G{\mid }_{Z\times \{0\}}=y_0$, 它可以被视为映射 (利用指数律) $$G:Z\to P_{y_0}Y$$它可以嵌入进图表因此 $(G,g)$ 分解穿过 $F_f$. 由此可知 $[g{]}_0\in \mathrm{im}{\pi }_{\ast }$. 从而 $\ker f_{\ast }\subset \mathrm{im}{\pi }_{\ast }$.

$\square$

注意到 $F_f$ 在 $x_0$ 处的纤维即为 $\Omega Y$可以得到下列带点映射构成的序列$$\Omega X\stackrel{\Omega f}{\to }\to F_f\stackrel{\pi }{\to }X\stackrel{f}{\to }Y.$$

引理 10.8. 序列 $\Omega X\stackrel{\Omega f}{\to }\to F_f\stackrel{\pi }{\to }X\stackrel{f}{\to }Y$ 在 $\underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中是正合的.

证明. 将通过构建 $\underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中所有的纵向箭头均为同伦等价的交换图 (10.1) 来证明引理. (10.1)$F_{\pi }$ 为 $\pi :F_f\to X$ 的纤维, 它由拉回所给出, 显式写出即为$$F_{\pi }=\{([\gamma ],[\beta ])\in P_{y_0}Y\times P_{x_0}X|f(\beta (1))=\gamma (1)\}.$$由于 $F_f\stackrel{\pi }{\to }X$ 为纤维为 $\Omega Y$ 的纤维化, 由引理 10.6 可知纤维到同伦纤维的自然映射 $j:\Omega Y\to F_{\pi }$ 为同伦等价. 根据构造, 图表 (10.1) 的第二个方块交换.
更明确地说, 映射 $j:\Omega Y\to F_{\pi }$ 将以 $y_0$ 为基点的环路 $[\beta ]$ 映为有序对$$j([\beta ])=([1_{x_0}],[\beta ]).$$类似地, $F_{\pi }\to F_f$ 的纤维是 $\Omega X$. 我们发现从纤维到同伦纤维的自然映射$$j^{\prime }:\Omega X\to F_{{\pi }^{\prime }}$$它也是同伦等价. 令$$(-{)}^{-1}:\Omega X\to \Omega X,\gamma \mapsto {\gamma }^{-1}$$为环路的逆. 定义$$\widetilde{j^{\prime }}=j^{\prime }\circ (-{)}^{-1}:\Omega X\to F_{{\pi }^{\prime }}$$它也为同伦等价. 构造交换图它定义出映射 $k:\Omega X\to F_{\pi }$. 考虑图表该图表在 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中是不交换的. 然而, $j\circ \Omega f$ 同伦于 $k$, 因此它在 $\underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中是交换的. 为了观察到这一点, 我们显式写出$$k([\gamma ])=([{\gamma }^{-1}],[1_{y_0}]),(j\circ \Omega f)(\gamma )=([1_{x_0}],[f(\gamma )]).$$它们通过$$F([\gamma ],t)=\left([(\gamma {\mid }_{[t,1]}{)}^{-1}],f\left[\gamma {\mid }_{[0,t]}\right]\right).$$同伦. 因此图表 (10.1) 中第一个方块在 $\underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中是交换的. 引理随即成立.

$\square$

引理 10.9. 令 $X_1\to X_2\to X_3$ 在 $\underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中正合, 则 $\Omega X_1\to \Omega X_2\to \Omega X_3$ 亦正合.

证明. 对于任意 $Y$, 将 $[Y,-{]}_0$ 作用在 $X_1\to X_2\to X_3$ 上. 而后使用纬悬-环路伴随 ¹, 即 $[\Sigma Y,X_i{]}_0=[Y,\Omega X_i{]}_0$, 得到正合列. 引理随即成立.

$\square$

定理 10.10 (正合 Puppe 序列). 令 $f:X\to Y$ 为 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中的态射. 则下述序列在 $\underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中是正合的. $$\cdots \to {\Omega }^{2}Y\to \Omega F_f\to \Omega X\to \Omega Y\to F_f\to X\to Y.$$

证明. 根据引理 10.8 以及引理 10.9 可知成立.

$\square$

定理 10.11. 令 $p:E\to B$ 为 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中的态射. 若 $p$ 为在基点处的纤维为 $F$ 的纤维化. 则我们有以下同伦群的正合列$$\cdots \to {\pi }_n(F)\to {\pi }_n(E)\to {\pi }_n(B)\to {\pi }_{n-1}(F)\to \cdots {\pi }_0(E)\to {\pi }_0(B).$$

证明. 因 $p$ 为纤维化, $F$ 同伦等价于 $F_p$. 观察到$$[S^0,{\Omega }^{n}X{]}_0=[{\Sigma }^n{S}^0,X{]}_0=[S^n,X{]}_0={\pi }_n(X).$$对于 $p:E\to B$ 所对应的 Puppe 序列应用 $[S^0,-{]}_0$ 即可得到结果.

$\square$

该定理给出一种非常有效的通过纤维化来计算同伦群的方法.

例 10.12. 考虑万有覆叠 $\exp :{\mathbb{R}}^1\to S^1$. 其关联的长正合列导出$${\pi }_n(S^1)=0,\forall n>1.$$

命题 10.13. 若 $i<n$, 则 ${\pi }_i(S^n)=0$.

证明概述. 令 $f:S^i\to S^n$. 我们需要用到以下事实: 从紧光滑流形 $X$ 到 $S^n$ 的任何连续映射都可以被光滑映射所一致逼近. 更进一步, 若光滑映射为连续同伦, 则它们为光滑同伦. 这通过 (在每个点的小邻域内) 局部扰动, 而紧性意味着这个扰动可以放到整体上所得出.
因此, 可以假设 $f$ 同伦于一个光滑映射 $f^{\prime }$. 则 (由于维数) $f^{\prime }$ 并非满射. 从而 $f^{\prime }:S^i\to (S^n-\{\mathrm{pt}\})\simeq {\mathbb{R}}^n\simeq \{\mathrm{pt}\}$ 为零伦.

$\square$

例 10.14. 考虑以 $S^1$ 为纤维的 Hopf 纤维化 $S^3\to S^2$. 其对应的长正合列导出$${\pi }_2(S^2)\cong \mathbb{Z}\text{ 以及 }n\ge 3\text{时, }{\pi }_n(S^3)\cong {\pi }_n(S^2)$$

脚注

1.	^ 人话:$\Omega$ 为 $\Sigma$ 的右伴随.