仿紧空间

仿紧空间是一类拓扑空间. 仿紧性是一种类似紧性, 但更弱一些的性质. 很多常见的空间, 包括度量空间、流形、CW 复形, 都是仿紧空间.

仿紧空间的一个关键性质是单位分解的存在性 (命题 3.1).

1定义

定义 1.1 (开覆盖). 设 $X$ 是拓扑空间.

•	$X$ 的一个开覆盖是指一族开子集 $\{U_i\subset X{\}}_{i\in I}$, 使得 $X={\bigcup }_{i\in I}{U}_i$.
•	开覆盖 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ 称为局部有限的, 如果每个 $x\in X$ 都有一个邻域 $U$, 它只与 $\{U_i\}$ 中的有限个开集相交.
•	开覆盖 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ 的加细是指另一个开覆盖 $\{V_j{\}}_{j\in J}$, 使得对每个 $j\in J$, 存在 $i\in I$, 满足 $V_j\subset U_i$.

定义 1.2 (仿紧空间). 拓扑空间 $X$ 称为仿紧空间, 如果 $X$ 的每个开覆盖都有局部有限的加细 (定义 1.1)

2例子

•	紧空间都是仿紧空间.
•	度量空间都是仿紧空间. 特别地, Euclid 空间是仿紧空间.
•	流形都是仿紧空间.
•	CW 复形都是仿紧空间.
•	Sorgenfrey 直线是仿紧空间, 但它与自身的乘积不是仿紧空间.

3性质

命题 3.1. 一个拓扑空间是仿紧 Hausdorff 空间, 当且仅当它的每个开覆盖都有从属于它的单位分解.

推论 3.2. 设 $X$ 是仿紧 Hausdorff 空间. 则对 $X$ 的每个开覆盖 $\{U_i\subset X{\}}_{i\in I}$, 存在 $X$ 的一个可数开覆盖 $\{V_n\subset X{\}}_{n\in \mathbb{N}}$, 使得每个 $V_n$ 都是 $\{U_i\}$ 中的一些不相交元素的并.

(...)

4相关概念

•	紧空间
•	局部紧空间

术语翻译

仿紧空间 • 英文 paracompact space • 德文 parakompakter Raum • 法文 espace paracompact • 拉丁文 spatium paracompactum • 古希腊文 παρασυμπάγης χῶρος

仿紧 (形容词) • 英文 paracompact • 德文 parakompakt • 法文 paracompact • 拉丁文 paracompactus • 古希腊文 παρασυμπάγης

仿紧性 • 英文 paracompactness • 德文 Parakompaktheit (f) • 法文 paracompacité (f) • 拉丁文 paracompactitas (f) • 古希腊文 παρασυμπάγεια (f)