1. 凝聚态集

凝聚态数学由 Dustin Clausen, Peter Scholze 等人从大致 2019 年开始发展, 旨在合理地于带拓扑的对象上做代数, 并试图由此理清目前较为混乱的解析几何理论.

众所周知, 在拓扑空间范畴 $\mathsf{Top}$ 中, 既单又满的映射未必是同构: 对一集合 $X$ 及其上两个拓扑 $\tau ⫋{\tau }^{\prime }$, ${\mathrm{id}}_X:(X,{\tau }^{\prime })\to (X,\tau )$ 都既单又满, 但不是同构. 这是令拓扑交换群范畴 $\mathsf{Ab}(\mathsf{Top})$ 不是 Abel 范畴的罪魁祸首, 也是在 $\mathsf{Top}$ 上做代数的困难之源. 本节将讲述凝聚态数学中用以替代拓扑空间的凝聚态集. 凝聚态集范畴 $\mathsf{Cond}$ 几乎就是个意象, 在其上做代数十分方便.

定义 1.1. 凝聚态集指的是景 $\mathsf{CHaus}$ 上的层, 其中 $\mathsf{CHaus}$ 指紧 Hausdorff 拓扑空间之范畴, 覆盖为形如 $\{S_i\to T{\}}_{i=1}^n$ 且满足 ${⨆}_{i=1}^n{S}_i\twoheadrightarrow T$ 的映射族. 凝聚态集组成的范畴记作 $\mathsf{Cond}$. 其上的群/交换群/环对象, 即 $\mathsf{CHaus}$ 上的群/交换群/环层, 分别称为凝聚态群/交换群/环, 记作 $\mathsf{CondGrp}$/$\mathsf{CondAb}$/$\mathsf{CondRing}$. 显然 $\mathsf{CondAb}$ 是 Abel 范畴.

注 1.2. 对一般的可表现范畴 $\mathcal{C}$, 可以考虑 $\mathsf{CHaus}$ 上的 $\mathcal{C}$ 值层范畴, 记作 $\mathsf{Cond}(\mathcal{C})$. 它自然地是 $\mathsf{Cond}$-充实范畴, 且在 $\mathsf{Cond}$ 上为幂与余幂的. 对 $\mathcal{C}=\mathsf{Grp},\mathsf{Ab},\mathsf{Ring}$, 容易发现这与上面定义的凝聚态群、交换群、环一致.

注意 $\mathsf{CHaus}$ 不是小范畴, 这会导致集合论困难. 在此我与叠计划一样, 不假设 Grothendieck 宇宙公理, 而在 ZFC 中解决此困难. 但目前为流畅起见暂时忽略它, 而将其丢给本节附录解决.

例 1.3. 由于紧 Hausdorff 空间之间的满射都是商映射, 每个拓扑空间 $X$ 都米田地决定一个凝聚态集 $S\mapsto \mathrm{Hom}(S,X)$, 即有显然的函子 $\mathsf{Top}\to \mathsf{Cond}$. 只要不发生混淆, 我们亦将此凝聚态集记作 $X$. 类似地, 拓扑群/交换群/环也依样给出凝聚态群/交换群/环. 这样得来的凝聚态对象称为来自拓扑空间.

反过来, 对于凝聚态集 $\mathcal{F}$, 将其写成米田层的预层余极限$$\mathcal{F}=\underset{S_i\in \mathsf{CHaus}}{\mathrm{colim}}{h}_{S_i}$$就能给 $\mathcal{F}(\ast )$ 赋予拓扑, 即取这些 $S_i$ 的余极限拓扑. 但一般地, 拓扑空间 $\mathcal{F}(\ast )$ 对凝聚态集 $\mathcal{F}$ 知之甚少. 请看下例.

例 1.4. 对拓扑空间 $X$, 以 $X_{\mathrm{disc}}$ 记底集为 $X$ 的离散拓扑空间. 在 $\mathsf{Top}$ 中, $X_{\mathrm{disc}}\to X$ 既单又满. 容易发现在 $\mathsf{Cond}$ 中这单而不满. 令 $Q=\mathrm{coker}({\mathbb{R}}_{\mathrm{disc}}\to \mathbb{R})$, 则依定义, $Q$ 为预层$$S\mapsto \frac{\mathrm{Hom}(S,\mathbb{R})}{\mathrm{Hom}(S,{\mathbb{R}}_{\mathrm{disc}})}$$之层化. 不难发现 $Q\ne 0$ 而 $Q(\ast )=0$. 即便你目前难以或懒于发现此事, 你接下来也会轻易发现.

例 1.5. 设 $X$ 为 CW 复形, 按以上方法视为凝聚态集, 则它是它的有限子复形作为凝聚态集的滤余极限. 这里要说明紧 Hausdorff 空间到 $X$ 的连续映射穿过有限子复形, 即说明如果 $K\subseteq X$ 紧, 则 $K$ 只与 $X$ 中有限个胞腔有交. 对每个与 $K$ 有交的胞腔 $e_{\alpha }$ 选取 $x_{\alpha }\in K\cap e_{\alpha }$, 构成子集 $K^{\prime }$, 则 $K^{\prime }$ 是 $K$ 的闭子集, 因为 $X$ 的拓扑为弱拓扑, 而 $K^{\prime }$ 交 $X$ 的每个有限子复形都是有限集, 自然闭. 同样道理 $K^{\prime }$ 的任意子集也都在 $X$ 中闭, 从而 $K^{\prime }$ 离散, 故有限.

例 1.6. $\mathsf{Cond}$ 作为层范畴具有内 $\mathrm{Hom}$ 函子, 或称指数对象, 记作 $\underline{\mathrm{Hom}}$, 定义为$$\underline{\mathrm{Hom}}(X,Y)(S)=\mathrm{Hom}(S\times X,Y),$$是乘积的右伴随. 当 $X\in \mathsf{CHaus}$, $Y\in \mathsf{Top}$ 时, 经典点集拓扑事实说明 $\underline{\mathrm{Hom}}(X,Y)$ 是 $\mathrm{Hom}(X,Y)$ 赋予紧开拓扑然后视为凝聚态集.

为操作方便, 我们引入景 $\mathsf{CHaus}$ 的两个基.

回忆. 一个紧 Hausdorff 空间投射有限 (即为有限离散空间之极限), 当且仅当它全不连通 (即连通分支为单点). 以 $\mathsf{ProFin}$ 记这样的空间之范畴. 覆盖仍取 $\mathsf{CHaus}$ 中者, 可得一景.

还需要更不连通的空间.

定义 1.7. 称 $S\in \mathsf{CHaus}$ 极不连通, 指对任一 $T\in \mathsf{CHaus}$, 任一满射 $p:T\to S$ 都有截面, 即存在 $s:S\to T$ 使得 $p\circ s=\mathrm{id}$. $\mathsf{CHaus}$ 中极不连通的空间生成的完全子范畴记作 $\mathsf{ExDisc}$. 称形如 $\{S_i\to T{\}}_{i=1}^n$ 且满足 ${⨆}_{i=1}^n{S}_i\cong T$ 者为覆盖, 得一景.

警告. $\mathsf{ExDisc}$ 中无纤维积, 甚至无乘积. 以上定义实际上是在把覆盖筛定义为对某个覆盖 $\{S_i\to T{\}}_{i=1}^n$, 对每个 $i$ 都包含 $\mathrm{im}(h_{S_i}\to h_T)$ 的筛.

显然, 极不连通空间全不连通, 且极不连通空间的有限无交并仍然极不连通. 另外, 存在足够多的极不连通空间:

回忆. Stone–Čech 紧化指的是含入函子 $\mathsf{CHaus}\hookrightarrow \mathsf{Top}$ 之左伴随, 由 Ти́хонов 定理易证其存在性. 将其记为 $\beta$.

于是 $A\mapsto \beta A$ 是忘却函子 $\mathsf{CHaus}\to \mathsf{Set}$ 之左伴随, 其中集合视为离散空间. 由此以及集合满射都有截面, 不难得到 $\beta A$ 极不连通. 因此, 对 $S\in \mathsf{CHaus}$, $\beta S_{\mathrm{disc}}\twoheadrightarrow S$ 就给出由极不连通空间到 $S$ 的覆盖.

这样一来, 不难发现 $\mathsf{ProFin}$ 与 $\mathsf{ExDisc}$ 都是景 $\mathsf{CHaus}$ 的基, 即 $\mathsf{Cond}$ 也相当于是 $\mathsf{ProFin}$ 或 $\mathsf{ExDisc}$ 上的层范畴. $\mathsf{ExDisc}$ 上的层条件尤为简单, 即

定理 1.8. $$\mathsf{Cond}(\mathcal{C})=\{\mathcal{F}:{\mathsf{ExDisc}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}\mid \mathcal{F}(\varnothing )=\ast ,\mathcal{F}(S\bigsqcup S^{\prime })=\mathcal{F}(S)\times \mathcal{F}(S^{\prime })\}.$$

由此可得上面说的 $\mathrm{coker}({\mathbb{R}}_{\mathrm{disc}}\to \mathbb{R})(\ast )=0$.

注 1.9. $\mathsf{ProFin}$ 是 [BS15] 中定义的投射平展景的最简单情形, 即一个几何点的投射平展景. 于是 $\mathsf{Cond}$ 也就是一点上的投射平展层范畴. 尽管这在 [BS15] 中已经出现, 但 Scholze 本人可能未曾想到它能用来在拓扑空间上合理地做代数. 他在 [Condensed] 中写道:「(问题的) 解决方向有点出乎作者意料. [BS15] 定义了一般概形的投射平展景, 其对象基本上是平展概形的极限. 而本课程只涉及其最简单情形, 即一个几何点上的情形. 事实上, 一点上的投射平展层不只有集合, 与经典的 Zariski 层或者平展层大相径庭. 这看似是个问题, 在此实则是个重要性质, 如 Clausen 与作者所说. 」

有一些办法在 $\mathsf{Cond}$ 中刻画 $\mathsf{CHaus}$.

定义 1.10. 在完备、余完备范畴 $\mathcal{C}$ 中, 称对象 $X$ 拟紧, 指对映射族 $\{Y_i\to X{\}}_{i\in I}$ 满足 ${⨆}_{i\in I}{Y}_i\twoheadrightarrow X$, 都存在有限的 $J\subseteq I$ 使 ${⨆}_{i\in J}{Y}_i\twoheadrightarrow X$. 称 $X$ 拟分离, 指对拟紧的 $Y$, $Z$ 与映射 $Y\to X$, $Z\to X$, $Y{\times }_{X}Z$ 都拟紧. $\mathcal{C}$ 的拟紧、拟分离、拟紧拟分离对象生成的完全子范畴分别记作 $\mathsf{qc}(\mathcal{C})$, $\mathsf{qs}(\mathcal{C})$, $\mathsf{qcqs}(\mathcal{C})$.

警告. 这与拟紧拓扑空间的定义冲突. 希望不会造成混淆. 一般只在意象中使用以上定义, 但 $\mathsf{Cond}$ 并不是意象, 故我放松条件.

定理 1.11. $$\mathsf{qcqs}(\mathsf{Cond})=\mathsf{CHaus}.$$

证明. 先证 $\mathsf{qc}(\mathsf{Cond})$ 恰由 $\mathsf{CHaus}$ 中对象的满射像组成.

对于 $X\in \mathsf{CHaus}$, $\mathcal{F}\in \mathsf{Cond}$, $\pi :X\twoheadrightarrow \mathcal{F}$, 以及 ${\mathcal{G}}_i\in \mathsf{Cond}$, ${⨆}_{i\in I}{\mathcal{G}}_i\twoheadrightarrow \mathcal{F}$, 由层满射的定义, 对任意 $S\in \mathsf{CHaus}$ 以及 $s\in \mathcal{F}(S)$, 都有覆盖 $\{T_k\to S{\}}_{k=1}^n$ 以及 $i_1,\dots ,i_n\in I$ 使得 $s{|}_{T_k}\in \mathrm{im}({\mathcal{G}}_{i_k}(T_k)\to \mathcal{F}(T_k))$. 取 $S=X$, $s=\pi$, 得到这样的 $T_k$, $i_k$, 以及 ${\mathcal{G}}_{i_k}(T_k)\ni t_k\mapsto \pi {|}_{T_k}$, 则显然 ${⨆}_{k=1}^n{\mathcal{G}}_{i_k}\twoheadrightarrow \mathcal{F}$, 因为它与 ${⨆}_{k=1}^n{t}_k$ 复合之后是满射 ${⨆}_{k=1}^n{T}_k\twoheadrightarrow X\twoheadrightarrow \mathcal{F}$ (这里把 $t_k$ 看成映射 $T_k\to {\mathcal{G}}_{i_k}$). 于是 $\mathcal{F}$ 拟紧.

反过来如 $\mathcal{F}\in \mathsf{Cond}$ 拟紧, 将其写成米田层的余极限 $\mathcal{F}={\mathrm{colim}}_i{S}_i$, 则这些 $S_i$ 中有限个的无交并层映满 $\mathcal{F}$. 由覆盖的定义, 米田嵌入 $\mathsf{CHaus}\hookrightarrow \mathsf{Cond}$ 显然保持有限无交并, 故存在 $S\in \mathsf{CHaus}$ 映满 $\mathcal{F}$.

那么现在对于 $X\in \mathsf{CHaus}$, $\mathcal{F},\mathcal{G}\in \mathsf{qc}(\mathsf{Cond})$, $\mathcal{F}\to X$, $\mathcal{G}\to X$, 要证 $\mathcal{F}{\times }_X\mathcal{G}$ 拟紧. 为此只需取 $Y,Z\in \mathsf{CHaus}$, $Y\twoheadrightarrow \mathcal{F}$, $Z\twoheadrightarrow \mathcal{G}$, 注意到 $\mathsf{CHaus}\ni Y{\times }_{X}Z\twoheadrightarrow \mathcal{F}{\times }_X\mathcal{G}$ 即足.

反过来如 $X\in \mathsf{qcqs}(\mathsf{Cond})$, 先由拟紧取 $\mathsf{CHaus}\ni Y\twoheadrightarrow X$, 再由拟分离即 $Y{\times }_{X}Y$ 拟紧取 $\mathsf{CHaus}\ni Z\twoheadrightarrow Y{\times }_{X}Y$, 则 $Y{\times }_{X}Y$ 是凝聚态集映射 $Z\to Y\times Y$ 的像, 容易发现它也是其作为紧 Hausdorff 空间映射的像. 于是 $Y{\times }_{X}Y\subseteq Y\times Y$ 是闭子空间, $X$ 为紧 Hausdorff 空间 $Y$ 商闭的等价关系, 仍为紧 Hausdorff.

故 $\mathsf{qcqs}(\mathsf{Cond})=\mathsf{CHaus}$.

$\square$

还能刻画 $\mathsf{ExDisc}$.

定义 1.12. 一般的范畴 $\mathcal{C}$ 中, 称对象 $X$ 投射, 指 $\mathrm{Hom}(X,-)$ 保持满射. 在 $\mathcal{C}$ 有任意滤余极限时, 称 $X\in \mathcal{C}$ 紧, 指 $\mathrm{Hom}(X,-)$ 与任意滤余极限交换. 分别以 $\mathsf{cpt}(\mathcal{C})$ 与 $\mathsf{cProj}(\mathcal{C})$ 记紧对象与紧投射对象的完全子范畴.

定理 1.13. $$\mathsf{cProj}(\mathsf{Cond})=\mathsf{ExDisc}.$$

证明. 先证极不连通空间作为 $\mathsf{Cond}$ 的对象紧投射, 即对 $S$ 极不连通, $\mathcal{F}\twoheadrightarrow \mathcal{G}$, 要证任意 $g:S\to \mathcal{G}$ 都能提升为 $f:S\to \mathcal{F}$. 沿着 $g$ 拉回, 可设 $\mathcal{G}=S$, $g=\mathrm{id}$, 要证 $\mathcal{F}\twoheadrightarrow S$ 有截面. 那么由于 $S$ 拟紧, 存在 $T\in \mathsf{CHaus}$ 以及 $t:T\to \mathcal{F}$ 使得复合 $T\to \mathcal{F}\twoheadrightarrow S$ 仍然满. 这样由 $T\to S$ 有截面即得结论.

再证紧投射对象极不连通. 如凝聚态集 $X$ 紧投射, 则由紧性易知其拟紧. 于是可取极不连通空间 $Y$ 满射到 $X$. 由投射性该满射有截面, 故 $X$ 是极不连通空间 $Y$ 的收缩, 也是极不连通空间.

$\square$

于是有 $\mathsf{Cond}$ 被其紧投射对象生成.

术语翻译

凝聚态数学 • 英文 condensed mathematics

凝聚态集 • 英文 condensed set

投射有限 • 英文 profinite

极不连通 • 英文 extremally disconnected

(余) 幂 (形容词) • 英文 (co)powered