层

层赋予几何对象以代数结构. 拓扑空间 $X$ 上的层给每个开集 $U\subset X$ 赋予一个集合. 例如, 空间上的函数层给开集 $U$ 赋予 $U$ 上所有函数的集合. 又例如, 向量丛也可以看成层, 它给开集 $U$ 赋予 $U$ 上该向量丛所有截面的集合.

具体地说, 层是满足 “局部决定整体” 性质的预层: 对任一开集 $U$ 及 $U$ 的任一开覆盖, $U$ 的每个截面都能由开覆盖中的小开集上截面拼成; 在每个小开集上选一截面, 若它们在重叠处吻合, 则能拼出 $U$ 上的截面. 换言之, $U$ 的截面由小开集上的截面所决定. 这种性质也被称为层公理.

层也可以定义在景上. 景上的集合层可以看作景中的广义对象, 即局部看似景中对象, 而实际不一定在景中的对象. 这些层全体构成一意象.

1定义

拓扑空间上的层

定义 1.1 (层). 设 $X$ 是拓扑空间, $\mathcal{D}$ 是范畴, 设 $\mathcal{F}$ 是 $X$ 上的取值于 $\mathcal{D}$ 的预层. 满足如下条件的预层 $\mathcal{F}$ 被称为一个层: 对任意开集 $U\subset X$, 以及 $U$ 的任意开覆盖 $(U_i\hookrightarrow U{)}_{i\in I}$, 图表$$\mathcal{F}(U)\to \prod _{i\in I}\mathcal{F}(U_i)\rightrightarrows \prod _{j,k\in I}\mathcal{F}(U_j\cap U_k)$$都是等子图表, 其中

•	左边的箭头将 $\mathcal{F}(U)$ 限制到每个 $\mathcal{F}(U_i)$.
•	右边上方的箭头将每个 $\mathcal{F}(U_i)$ 限制到每个 $\mathcal{F}(U_i\cap U_k)$.
•	右边下方的箭头将每个 $\mathcal{F}(U_i)$ 限制到每个 $\mathcal{F}(U_j\cap U_i)$.

此图表称为层公理.

注 1.2. 若 $\mathcal{D}$ 是集合范畴 $\mathsf{Set}$, 或是由带有额外结构的集合构成的范畴, 例如 $\mathsf{Ab}$, $\mathsf{CRing}$ 等, 那么定义 1.1 中的等子图表等价于下列条件:

设 $U\subset X$ 是开集, $(U_i\hookrightarrow U{)}_{i\in I}$ 是 $U$ 的开覆盖.

•	(粘接性质) 若对每个 $i\in I$ 给定了截面 $s_i\in \mathcal{F}(U_i)$, 使得对任意 $i,j\in I$, 都有 $s_i{|}_{U_i\cap U_j}=s_j{|}_{U_i\cap U_j}$, 那么存在 $s\in \mathcal{F}(U)$, 使得对任意 $i\in I$, 都有 $s_i=s{|}_{U_i}$.
•	(唯一性) 若两个截面 $s,s^{\prime }\in \mathcal{F}(U)$ 满足对任意 $i\in I$ 都有 $s{|}_{U_i}=s^{\prime }{|}_{U_i}$, 则 $s=s^{\prime }$.

定义 1.3. 当范畴 $\mathcal{D}$ 取为某一类数学对象构成的范畴时, 此层由此类数学对象命名. 例如:

•	$\mathcal{D}$ 为 Abel 群的范畴 $\mathsf{Ab}$ 时, 此层被称为 Abel 层,

•	$\mathcal{D}$ 取为交换环的范畴 $\mathsf{CRing}$ 时, 此层被称为环层.

如此等等.

定义 1.4. $X$ 上所有取值在 $\mathcal{D}$ 上的层构成一范畴, 记作 $\mathsf{Sh}(X,\mathcal{D})$, 当 $\mathcal{D}$ 为集合范畴时简记为 $\mathsf{Sh}(X)$, 称为 $X$ 的意象.

景上的层

景是拓扑空间的推广, 在景上同样可以定义层. 我们叙述两个版本的定义, 第一个版本适用于通过覆盖而定义的景, 第二个版本适用于一般的景.

定义 1.5. 设 $\mathcal{C}$ 是由覆盖定义的景, $\mathcal{D}$ 是范畴, 设 $\mathcal{F}$ 是 $\mathcal{C}$ 上的取值于 $\mathcal{D}$ 的预层. 满足如下条件的预层 $\mathcal{F}$ 被称为层: 对任意对象 $U\in \mathcal{C}$, 以及 $U$ 的任意覆盖 $(U_i\to U{)}_{i\in I}$, 图表$$\mathcal{F}(U)\to \prod _{i\in I}\mathcal{F}(U_i)\rightrightarrows \prod _{j,k\in I}\mathcal{F}(U_j{\times }_U{U}_k)$$都是等子图表, 其中

•	左边的箭头将 $\mathcal{F}(U)$ 限制到每个 $\mathcal{F}(U_i)$.
•	右边上方的箭头由投影 $U_i{\times }_U{U}_k\to U_i$ 诱导.
•	右边下方的箭头由投影 $U_j{\times }_U{U}_i\to U_i$ 诱导.

此图表称为层公理.

定义 1.6. 对景 $(\mathcal{C},J)$ 和范畴 $\mathcal{D}$, 称 $\mathcal{C}$ 上预层 $\mathcal{F}$ 为层, 指对任意 $U\in \mathcal{C}$ 及其覆盖筛 $S\in J(U)$, 都有$$\mathcal{F}(U)=\underset{(f:V\to U)\in S(V)}{\lim }\mathcal{F}(V).$$上式右边的指标范畴实际上就是筛视为满子范畴.

以上定义中默认提及的极限都在 $\mathcal{D}$ 中存在. 熟悉筛的读者不难发现, 覆盖定义的层公理实际上就是一般定义的层公理的展开.

另外, 当景取为拓扑空间 $X$ 上所有开集构成的景 $\mathsf{Open}(X)$ 时, 上述定义即化为拓扑空间上层的定义.

注 1.7. 上述注 1.2 中给出的等价叙述同样适用于由覆盖定义的景. 只需将开覆盖换为景中覆盖, 交集换为纤维积即可.

定义 1.8. 对景 $\mathcal{C}$ 上的两个取值在 $\mathcal{D}$ 上的层, 其间同态定义为预层间的同态, 也即函子间的自然变换.

定义 1.9. 景 $\mathcal{C}$ 上的所有取值在 $\mathcal{D}$ 上的层以及它们之间的同态构成一范畴, 称为 $\mathcal{C}$ 上的 $\mathcal{D}$ 层范畴. 记作 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$, 当 $\mathcal{D}$ 是集合范畴时简记为 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C})$, 称为 $\mathcal{C}$ 的意象.

2性质

命题 2.1 (函子性). 对拓扑空间或景之间的态射 $f:X\to Y$, 存在一对伴随函子$$f^{-1}⊣f_{\ast },\mathsf{Sh}(X)\leftrightarrows \mathsf{Sh}(Y).$$$f^{-1}$ 和 $f_{\ast }$ 分别称为层的拉回层和前推层, 且 $f^{-1}$ 是正合的, $f_{\ast }$ 是左正合的.

换言之, 拓扑空间 (或景) 间的态射诱导了相应的意象间的态射.

证明. 参见前推层, 拉回层.

$\square$

3例子

•	局部截面层
•	光滑函数层
•	全纯函数层
•	亚纯函数层
•	正则函数层
•	微分形式层

4相关概念

术语翻译

层 • 英文 sheaf • 德文 Garbe (f) • 法文 faisceau (m) • 拉丁文 fascis (m)