充实范畴

充实范畴是范畴的一种推广. 在范畴中, 两个对象之间的所有态射构成集合. 而在充实范畴中, 则允许该集合有额外的结构, 例如向量空间或拓扑空间, 等等.

例如, 向量空间范畴可以视为充实于其自身的充实范畴, 因为每两个向量空间之间的所有线性映射不仅构成集合, 也构成向量空间.

1定义

充实范畴

定义 1.1 (充实范畴). 设 $(\mathcal{V},\otimes ,1_{\mathcal{V}})$ 是幺半范畴. 一个 $\mathcal{V}$-充实范畴 $\mathcal{C}$ 由以下信息组成:

•	一个类 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 其元素称为 $\mathcal{C}$ 的对象. 我们也将 $x\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 直接记为 $x\in \mathcal{C}$.

•	对每两个对象 $x,y\in \mathcal{C}$, 有一个态射对象$$\mathcal{C}(x,y)\in \mathcal{V},$$它是 $\mathcal{V}$ 的对象, 视作 $x,y$ 之间所有态射构成的空间.

•	对每个对象 $x\in \mathcal{C}$, 有一个恒同态射$$1_x:1_{\mathcal{V}}⟶\mathcal{C}(x,x),$$它是 $\mathcal{V}$ 中的态射, 可以视为对象 $\mathcal{C}(x,x)\in \mathcal{V}$ 中的一个 “元素”.

•	对每三个对象 $x,y,z\in \mathcal{C}$, 有一个复合态射$$\circ :\mathcal{C}(y,z)\otimes \mathcal{C}(x,y)⟶\mathcal{C}(x,z),$$它是 $\mathcal{V}$ 中的态射.

它们满足以下条件:

•

(单位律) 对任意 $x,y\in \mathcal{C}$, 下列图表交换: $$1_{\mathcal{V}}\otimes \mathcal{C}(x,y)\mathcal{C}(x,y)\otimes 1_{\mathcal{V}}\mathcal{C}(y,y)\otimes \mathcal{C}(x,y)\mathcal{C}(x,y)\mathcal{C}(x,y)\otimes \mathcal{C}(x,x)\text{ .}{1}_y\otimes \mathcal{C}(x,y)\simeq \mathcal{C}(x,y)\otimes 1_x\simeq \circ \circ$$大致说, 就是任何态射复合恒同态射都等于它自身.

•

(结合律) 对任意 $x,y,z,w\in \mathcal{C}$, 下列图表交换: $$\mathcal{C}(z,w)\otimes \mathcal{C}(y,z)\otimes \mathcal{C}(x,y)\mathcal{C}(y,w)\otimes \mathcal{C}(x,y)\mathcal{C}(z,w)\otimes \mathcal{C}(x,z)\mathcal{C}(x,w)\text{ .}\mathcal{C}(z,w)\otimes \circ \circ \otimes \mathcal{C}(x,y)\circ \circ$$也就是说, 复合满足结合律.

注 1.2. 在定义 1.1 中, 如果取 $(\mathcal{V},\otimes ,1_{\mathcal{V}})=(\mathsf{Set},\times ,\ast )$ 为集合范畴, 其中 $\ast$ 表示单点集, 那么得到的 $\mathsf{Set}$-充实范畴就是普通范畴.

充实函子

参见: 充实函子

定义 1.3 (充实函子). 设 $(\mathcal{V},\otimes ,1_{\mathcal{V}})$ 是幺半范畴, $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 是 $\mathcal{V}$-充实范畴. 从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的 $\mathcal{V}$-充实函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 由以下信息组成:

•	一个映射 $F:\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\to \mathrm{Ob}(\mathcal{D})$.

•	对任意 $x,y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个 $\mathcal{V}$ 中的态射$$F_{x,y}:\mathcal{C}(x,y)\to \mathcal{D}(F(x),F(y)).$$在无歧义时, 态射 $F_{x,y}$ 也会简记为 $F$.

它们满足以下条件:

•	对任意 $x,y,z\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 下列图表交换: $$\mathcal{C}(y,z)\otimes \mathcal{C}(x,y)\mathcal{C}(x,z)\mathcal{D}(F(y),F(z))\otimes \mathcal{D}(F(x),F(y))\mathcal{D}(F(x),F(z))\text{ .}\circ F_{y,z}\otimes F_{x,y}{F}_{x,z}\circ$$
•	对任意 $x\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 下列图表交换: $$1_{\mathcal{V}}\mathcal{C}(x,x)\mathcal{D}(F(x),F(x))\text{ .}{1}_x{1}_{F(x)}{F}_{x,x}$$

充实自然变换

参见: 充实自然变换

定义 1.4 (充实自然变换). (...)

充实范畴的范畴

定义 1.5 (小充实范畴). 设 $\mathcal{V}$ 是幺半范畴, $\mathcal{C}$ 是 $\mathcal{V}$-充实范畴 (定义 1.1). 如果 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 是集合, 就称 $\mathcal{C}$ 是小的 $\mathcal{V}$-充实范畴.

定义 1.6 (充实范畴的范畴). 设 $\mathcal{V}$ 是幺半范畴. 所有小的 $\mathcal{V}$-充实范畴 (定义 1.5) 和它们之间的充实函子 (定义 1.3) 以及充实自然变换 (定义 1.4) 构成一个 $2$-范畴, 通常记作 ${\mathsf{Cat}}_{\mathcal{V}}$.

2例子

•	充实于集合范畴 $(\mathsf{Set},\times ,\ast )$ 的范畴, 即 $\mathsf{Set}$-充实范畴, 就是普通的范畴 (注 1.2).

•	充实于 Abel 群范畴 $(\mathsf{Ab},\otimes ,\mathbb{Z})$ 的范畴, 即 $\mathsf{Ab}$-充实范畴, 称为环胚. 带有零对象的环胚称为预加性范畴. 例如, Abel 群的范畴、环上的模范畴 (特别地, 向量空间范畴) 都是预加性范畴.

•	充实于拓扑空间范畴 $(\mathsf{Top},\times ,\ast )$ 的范畴, 即 $\mathsf{Top}$-充实范畴, 称为拓扑范畴. 例如, $\mathsf{Top}$ 的态射空间可以赋予紧开拓扑, 使得 $\mathsf{Top}$ 成为拓扑范畴.

•	充实于单纯集合范畴 $(\mathsf{sSet},\times ,\ast )$ 的范畴, 即 $\mathsf{sSet}$-充实范畴, 称为单纯范畴.

•	设 $k$ 是域. 充实于链复形范畴 $(\mathsf{Ch}(k),\otimes ,k)$ 的范畴, 即 $\mathsf{Ch}(k)$-充实范畴, 称为 $k$ 上的微分分次范畴. 这里, 幺半范畴的单位对象 $k$ 是指第 $0$ 个位置为 $k$, 其余为零的链复形.

3相关概念

•	充实 $(\infty ,1)$-范畴

术语翻译

充实范畴 • 英文 enriched category • 德文 angereicherte Kategorie • 法文 catégorie enrichie