景

景是拓扑空间的抽象. 其大致思想为忽略拓扑空间中的点, 而模拟拓扑空间中所有开集应有的构造, 例如开覆盖.

1动机

在代数几何中, 代数簇的 Zariski 拓扑有诸多不足, 例如它太粗, 导致不可约代数簇上面常值层的上同调为 $0$. 为解决此问题, 需要额外加上一些 “开集”, 虽然不能认为这些开集仍然由此空间中的点构成, 但诸如开覆盖等概念却仍然可以谈论. 因此我们把拓扑空间抽象为景, 抛弃拓扑空间中的点而模拟拓扑空间中的开集.

例如, 在平展上同调理论中, 需要将映至底空间的平展映射也视为 “开集”, 而构造一种拓扑的类似物, 即为平展景.

2覆盖定义

定义 2.1. 景是二元组 $(\mathcal{C},\mathrm{Cov}(\mathcal{C}))$, 其中 $\mathcal{C}$ 是范畴, $\mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 是由形如下式的元素构成的类: $$\{U_i\to U{\}}_{i\in I},U_i,U\in \mathrm{Ob}\mathcal{C},$$其中 $I$ 是集合, $U_i$, $U$ 是 $\mathcal{C}中对象$. 满足下述条件:

•	对同构 $V\to U$, $\{V\to U\}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.

•	如果 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$, 且对每个 $i\in I$, 有 $\{U_{ij}\to U_i{\}}_{j\in I_i}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$, 那么 $\{U_{ij}\to U{\}}_{i\in I,j\in I_i}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.

•	对 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 以及任意映射 $V\to U$, 有纤维积 $U_i{\times }_{U}V$ 存在, 且 $\{U_i{\times }_{U}V\to V{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(\mathcal{C})$.

在不引起歧义的情况下, 将此二元组简记为 $\mathcal{C}$.

注 2.2. 由以上例子, 我们将 $\mathcal{C}$ 中对象称为开集, $\mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 中元素称为覆盖.

定义 2.3. 景之间的函子 $u:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ (即其相应范畴间的函子) 称为连续, 如果对 $\mathcal{C}$ 中任意覆盖 $\{U_i\to U\}$, 有

•	$\{u(U_i)\to u(U)\}$ 是 $\mathcal{D}$ 中的覆盖.

•	对 $\mathcal{C}$ 中的映射 $T\to U$, $u(T){\times }_{u(U)}u(U_i)\simeq u(T{\times }_U{U}_i)$.

定义 2.4 (景的态射). 景之间的态射 $\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 是景间的连续函子 $u:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$. 使得景上的层之间的推出函子 $u^s$ $$\mathsf{Sh}(\mathcal{D})\to \mathsf{Sh}(\mathcal{C}),u^s\mathcal{F}(U)=\mathcal{F}(u(U))$$有正合的左伴随, 即拉回函子是正合的.

注 2.5. 例如, 如果连续函子 $u:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 保持所有有限极限, 则它给出了景之间的态射.

注 2.6. 拓扑空间间的连续映射 $f:X\to Y$, 通过 $U\mapsto f^{-1}(U)$ 给出连续函子 $\mathsf{Open}(Y)\to \mathsf{Open}(X)$, 进而给出景间的态射 $\mathsf{Open}(X)\to \mathsf{Open}(Y)$. 这也解释了景间的态射要反过来写的原因.

定义 2.7 (余连续). 景之间的函子 $u:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 称为余连续, 指对任意 $U\in \mathcal{C}$, 任意 $\mathcal{D}$ 中覆盖 $\{V_j\to u(U){\}}_{j\in J}$, 存在 $\mathcal{C}$ 中覆盖 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$, 使 $\{u(U_i)\to u(U){\}}_{i\in I}$ 加细 $\{V_j\to u(U){\}}_{j\in J}$, 意思是存在映射 $\phi :I\to J$ 以及映射 $u(U_i)\to V_{\phi (i)}$ 使下图交换.

3一般定义

在此陈述用筛定义的景. 它比上面用覆盖定义的抽象些, 但能够处理一般的、没有足够极限的范畴. 初学者可满足于以上覆盖定义.

定义 3.1 (筛). 范畴 $\mathcal{C}$ 的对象 $U$ 上的筛指 Yoneda 函子 $h_U$ 的子函子.

定义 3.2 (等价定义). 等价地, $U$ 上的筛是俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/U}$ 的满子范畴 $\mathcal{D}$, 使得对俯范畴中任意态射 $Y\to X$, $X\in \mathcal{D}$, 有 $Y\in \mathcal{D}$ 成立.

注 3.3. 上述二定义等价: 子函子 $S\subseteq h_U$ 对应于满子范畴$$\{f:V\to U\mid f\in S(V)\subseteq h_U(V)\}.$$

定义 3.4. 景是二元组 $(\mathcal{C},J)$, 其中 $\mathcal{C}$ 是范畴, $J$ 对每个 $U\in \mathcal{C}$ 指定一族筛, 满足下述条件:

•	$h_U\in J(U)$.
•	如 $S\in J(U)$, 且 $T\subseteq h_U$ 满足对每个 $V\in \mathcal{C}$ 以及 $f:V\to U$ 属于 $S(V)$, 都有 $f^{\ast }T\in J(V)$, 则 $T\in J(U)$.
•	如 $S\in J(U)$, $f:V\to U$, 则 $f^{\ast }S\in J(V)$.

其中 $f^{\ast }S$ 定义为 $(f^{\ast }S)(W)=\{g:W\to V\mid f\circ g\in S\}$.

$J$ 中元素称为覆盖筛. 无歧义时将 $(\mathcal{C},J)$ 简记为 $\mathcal{C}$.

例 3.5. 对上面用覆盖定义的景 $(\mathcal{C},\mathrm{Cov}(\mathcal{C}))$, 对 $U\in \mathcal{C}$, $S\subseteq h_U$, 令 $S\in J(U)$, 若存在覆盖 $\{U_i\to U\}$ 使得对每个 $i$, $S\supseteq \mathrm{im}(h_{U_i}\to h_U)$. 这样, 上面覆盖定义的景的条件便逐条推出以上条件.

定义 3.6. 景之间的函子 $u:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 称为连续, 指对 $\mathcal{C}$ 的每个覆盖筛 $S$, $u_{\ast }S$ 都是 $\mathcal{D}$ 的覆盖筛.

定义 3.7. 景之间的函子 $u:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 称为余连续, 指对 $\mathcal{D}$ 的每个覆盖筛 $T$, $u^{\ast }T$ 都是 $\mathcal{C}$ 的覆盖筛.

定义 3.8 (景的态射). 景之间的态射 $\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 是连续函子 $u:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 使得层范畴间函子 $u^s:\mathsf{Sh}(\mathcal{D})\to \mathsf{Sh}(\mathcal{C})$, 定义为 $(u^s\mathcal{F})(U)=\mathcal{F}(u(U))$, 有正合的左伴随.

可以验证当景可由覆盖定义时, 这里描述的景的性质与之前的性质等价.

4性质

命题 4.1. 对景 $\mathcal{C}$, 以及其中一对象 $X$, 范畴 ${\mathcal{C}}_{/X}$ 具有自然的景结构, 称为俯景, 是拓扑中开子空间的类比. 此时自然的函子 ${\mathcal{C}}_{/X}\to \mathcal{C}$ 是连续, 余连续的.

5例子

如下的二元组 $(\mathcal{C},\mathrm{Cov}(\mathcal{C}))$ 构成景:

•	$\mathcal{C}$ 为拓扑空间 $X$ 的所有开集构成的范畴 $\mathsf{Open}(X)$, $\mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 为通常意义下的开覆盖. 如 $X$ 为概形相应的拓扑空间, 此景称为 $X$ 的 Zariski 景.
•	$\mathcal{C}$ 为任意范畴, $\mathrm{Cov}(\mathcal{C})$ 中元素为所有同构 $U_i\to U$, 称为混沌景.

此外, 在代数几何中下列景是常见的:

•	平坦景
•	平展景
•	射平展景
•	无穷小景
•	晶体景

6相关概念

术语翻译

景 • 英文 site • 德文 Situs (m) • 法文 site (m)

筛 • 英文 sieve • 德文 Sieb (n) • 法文 crible (m)

覆盖 (形容词) • 英文 covering • 德文 überdeckend • 法文 couvrant