12. 上同调维数 I——一般情况

定义 12.0.1. 对于概形 $X$, 定义其 (平展) 上同调维数为$$\mathrm{cd}(X):=\min \{d:\text{对于所有挠Abel层}\mathcal{F}\text{都有当}q>d\text{时有}{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})=0\}$$或者 $\mathrm{cd}(X)=\infty$.

引理 12.0.2 (Tate). 设 $L/K$ 是域扩张, 那么 $\mathrm{cd}(L)\le \mathrm{cd}(K)+\mathrm{trdeg}(L/K)$.

证明.. 首先断言: 若 $X$ 是 $K$ 上的一维代数概形, 则 $\mathrm{cd}(X)\le \mathrm{cd}(K)+1$. 对 $f:X\to \mathrm{Spec}K$ 和挠层 $\mathcal{F}$ 用 Leray 谱序列$$E_2^{p,q}=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p(\mathrm{Spec}K,R^q{f}_{\ast }\mathcal{F})\Rightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{p+q}(X,\mathcal{F}).$$注意到对于几何点 $\bar{x}:\mathrm{Spec}\bar{K}\to \mathrm{Spec}K$, 由推论 8.0.4 有 $(R^q{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{x}}=H^q(X_{\bar{K}},\mathcal{F})$. 当 $q>1$ 时由定理 11.2.0.1 知为 $0$. 分析谱序列得到断言成立.

回到引理本身. 若 $\mathrm{trdeg}(L/K)=\infty$ 则显然成立. 当超越度有限时, 根据归纳法不妨设 $\mathrm{trdeg}(L/K)=1$. 设 $L={\underrightarrow{\lim }}_i{A}_i$ 是一些有限生成 $K$ 代数的滤余极限, 这些 $A_i$ 的维数都不超过 $1$. 再利用断言和定理 6.5.0.2 即可得到结论.

$\square$

定理 12.0.3. 设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的代数簇, 则 $\mathrm{cd}(X)\le 2\dim X$.

证明.. 固定一个挠层 $\mathcal{F}$, 用归纳法.

$\bullet$ 步骤 1. 对一般点含入 $j:\eta \to X$, 划归到形如 $j_{\ast }\mathcal{F}$ 的情况.

注意到映射 $\mathcal{F}\to j_{\ast }{j}^{-1}\mathcal{F}$ 诱导同构 $(\mathcal{F}{)}_{\eta }\cong (j_{\ast }{j}^{-1}\mathcal{F}{)}_{\eta }$. 其核和余核都是支撑在维数更小的闭子概形上的层. 根据归纳假设只需要证明 $j_{\ast }\mathcal{F}$ 的情况.

$\bullet$ 步骤 2. $R^q{j}_{\ast }\mathcal{F}$ 支撑在维数 $\dim X-q$ 的子簇上.

对于 $X$ 的任何不可约闭子簇 $Z$, 设 $Z$ 的一般点为 $\xi$, 然后选择一个几何点 $\bar{\xi }\to \xi \to Z$. 注意到由推论 8.0.4 得到 $(R^q{j}_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{\xi }}=H^q(\mathrm{Frac}({\mathcal{O}}_{\bar{\xi }}^{\mathrm{sh}}),\mathcal{F})$. 由于 $\mathrm{Frac}({\mathcal{O}}_{\bar{\xi }}^{\mathrm{sh}})/\mathrm{Frac}({\mathcal{O}}_{\bar{\xi }})$ 是代数扩张 (因为其为有限扩张的极限), 注意到$$\mathrm{trdeg}(\mathrm{Frac}({\mathcal{O}}_{\bar{\xi }})/k)=\dim X-\dim Z,$$根据引理 12.0.2 得知成立.

$\bullet$ 步骤 3. 完成证明.

考虑 Leray 谱序列 $E_2^{p,q}=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p(X,R^q{j}_{\ast }\mathcal{F})\Rightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{p+q}(\eta ,\mathcal{F})$ 画出第二页谱序列图得知 ($n=\dim X$): 根据归纳, 当 $p>2(n-q)$ 且 $q>0$ 时 $E_2^{p,q}=0$; 由引理 12.0.2 知当 $p+q>n$ 时 $H^{p+q}(\eta ,\mathcal{F})=0$. 故在图中 $l_1$ 右方区域均收敛至 $0$, 在 $l_2$ 右方的区域均为零. 于是考虑当 $p>2\dim X$ 时有 $E_2^{p-1,1}=0$, 故 $E_2^{p,0}=E_{\infty }^{p,0}$. 在虚线 $L$ 上全部收敛至 $0$, 因此 $E_2^{p,0}=0$, 则证明完毕.

$\square$