11.2. 挠层的上同调

定理 11.2.0.1. 设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的分离有限型一维概形且 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 是挠层, 则

(i) 对任何 $q>2$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})=0$;

(ii) 若 $X$ 仿射, 则对任何 $q>1$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})=0$;

(iii) 若 $p=\mathrm{char}(k)>0$ 且 $\mathcal{F}$ 是 $p$-幂次挠层, 则对任何 $q>1$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})=0$;

(iv) 如果 $\mathcal{F}$ 是可构建层且和 $\mathrm{char}(k)$ 互素的挠层, 则 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})$ 有限;

(v) 如果 $\mathcal{F}$ 是可构建层且 $X$ 紧合, 则 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})$ 有限;

(vi) 对任何代数闭扩张 $K/k$, 如果 $\mathcal{F}$ 是 $\mathrm{char}(k)$ 互素的挠层, 则 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X_K,\mathcal{F}{|}_{X_K})$;

(vii) 对任何代数闭扩张 $K/k$, 如果 $X$ 是紧合, 则 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X_K,\mathcal{F}{|}_{X_K})$;

(viii) 对任何开集 $U\subset X$, 映射 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(X,\mathcal{F})\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(U,\mathcal{F})$ 是满射.

参考 Tag 03SB. 这是本节最重要的结论, 这些命题的证明事实上是殊途同归的, 我们只以 (i) 和 (iii) 在光滑的情况下来举例说明. 对于不光滑的情况, 取概形的既约结构, 因为是一个加厚所以不改变上同调. 然后取正规化, 我们总能得到一个交换图和一些函子运算的交换性. 最后, 把曲线分解成连通分支即可, 更多细节我们不在介绍.

这里按照惯例我们定义局部系为有限局部常值层, 记作 $\mathrm{Loc}(X)$. 我们首先证明如下结论:

定理 11.2.0.2. 设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的光滑曲线且 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 是挠层 (且挠部分在 $k$ 中可逆), 则对 $q>2$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})=0$.

引理 11.2.0.3. 设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的光滑曲线且局部系 $\mathcal{F}$ 的挠部分在 $k$ 中可逆, 则对 $q>2$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})=0$.

证明.. 设 $\ell$ 在 $k$ 中可逆, 如果 $\mathcal{F}$ 是一个 $\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z}$-层, 即对于每个平展开集 $U$, 层 $\mathcal{F}(U)$ 是 $\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z}$ 线性空间. 对于某个 $k$ 中可逆的 $d$, 取 $d$ 次平展覆叠 $\pi :U\to X$ 使得 $\mathcal{F}{|}_U$ 是常值层. 由于是线性空间上, 故乘 $d$ 为同构, 根据命题 11.1.0.3 和定理 9.3.0.2, 我们得知对 $q>2$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})=0$.

一般地, 将 $\mathcal{F}$ 分解成 ${\mathcal{F}}_1\oplus ...\oplus {\mathcal{F}}_r$, 其中 ${\mathcal{F}}_i$ 被 ${\ell }_i$ 的幂次消灭, $\mathcal{F}$ 被某个 $\ell$ 的幂次消灭. 最后, 记 $\mathcal{F}[\ell ]$ 为 $\mathcal{F}$ 的 $\ell$-挠部分, 考虑正合列 $0\to \mathcal{F}[\ell ]\to \mathcal{F}\to \mathcal{F}/\mathcal{F}[\ell ]\to 0$, 然后归纳即可.

$\square$

引理 11.2.0.4. 设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的光滑曲线且可构建层 $\mathcal{F}$ 的挠部分在 $k$ 中可逆, 根据点集拓扑推导不难得知存在稠密开浸入 $j:U\to X$ 使得 $\mathcal{F}{|}_U\in \mathrm{Loc}(U)$. 考虑下面命题等价:

(a) 对 $q>2$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})=0$;

(b) 对 $q>2$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,j_{!}{j}^{-1}\mathcal{F})=0$.

证明.. 设 $Z=X\backslash U$ 和 $i:Z\to X$, 根据命题 5.3.0.4 有正合列$$0\to j_{!}{j}^{-1}\mathcal{F}\to \mathcal{F}\to i_{\ast }{i}^{-1}\mathcal{F}\to 0.$$注意到 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,i_{\ast }{i}^{-1}\mathcal{F})=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(Z,i^{-1}\mathcal{F})$ 且 $Z$ 是代数闭域的谱的乘积, 因此诱导长正合列即可得到证明.

$\square$

定理 11.2.0.2 的证明. 根据命题 10.2.0.3, 只需考虑可构建层的情况. 再根据引理 11.2.0.4, 我们只需要证明: 对稠密开浸入 $j:U\to X$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Loc}(U)$, 对 $q>2$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,j_{!}\mathcal{F})=0$.

再次使用迹映射方法, 取合适的有限平展覆盖 $g:V\to U$, 只需考虑形如 $j_{!}{g}_{\ast }{g}^{-1}\mathcal{F}$ 的上同调且使得 $g^{-1}\mathcal{F}$ 是常值层. 由 Zariski 主定理, 有分解为开浸入 $a$ 和有限态射 $b$ 的复合. 不难验证得到 $j_{!}{g}_{\ast }=b_{\ast }{a}_{!}$, 只需要证明对 $q>2$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(Y,a_{!}\underline{\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z}})=0$, 其中 $\ell$ 在 $k$ 里可逆. 只需要考虑 $a_{!}{a}^{-1}\underline{\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z}}$, 根据引理 11.2.0.4 和引理 11.2.0.3.

$\square$

再考虑如下:

定理 11.2.0.5. 设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的光滑曲线, 设 $p=\mathrm{char}(k)>0$ 且 $\mathcal{F}$ 是 $p$-幂次挠层, 则对任何 $q>1$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})=0$.

引理 11.2.0.6. 设 $k$ 是一个特征 $p$ 代数闭域, 设 $V$ 是有限维 $k$-线性空间. 设线性映射 $F:V\to V$ 是加性的且 $F(ax)=a^{p}F(x)$. 那么 $F-\mathrm{id}:V\to V$ 是满射.

证明.. 交换代数, 参考 Tag 0A3L.

$\square$

命题 11.2.0.7. 设 $X/k$ 是 $d$ 维紧合概形, 那么对于 $q>d$, 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\underline{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}})=0$.

证明.. 考虑 Artin-Schreier 正合列定理 4.5.0.2:$$0\to {\underline{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}}_X\to {\mathbb{G}}_{a,X}\stackrel{t\mapsto t^p-t}{⟶}{\mathbb{G}}_{a,X}\to 0.$$诱导长正合列为$$\cdots \to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^d(X,{\mathcal{O}}_X)\stackrel{F\mathrm{id}}{⟶}{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^d(X,{\mathcal{O}}_X)\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{d+1}(X,\underline{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}})\to 0\to \cdots .$$其中根据定理 7.4.0.2 和 Grothendieck 消灭定理得知当 $q>d$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,{\mathcal{O}}_X)=0$, 因此之后的项是 $0$. 因此当 $q>d+1$ 时 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\underline{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}})=0$. 再根据引理 11.2.0.6 得到 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{d+1}(X,\underline{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}})=0$, 于是得到结果.

$\square$

定理 11.2.0.5 的证明. 类似定理 11.2.0.2 的证明, 化归到局部系, 然后再到可构建层即可, 略去.

$\square$

事实上定理 11.2.0.1 的某些可以减弱至可分闭域:

命题 11.2.0.8 (参考 Tag 0A5E). 设 $K/k$ 是可分闭域的扩张, 设 $X$ 在 $\mathrm{Spec}k$ 上紧合且维数不大于 $1$, 则对挠层 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X_K,\mathcal{F}{|}_{X_K})$.