6.4. Kummer/Artin-Schreier 列和 Galois 理论

[为了方便我们只讨论 Kummer 正合列的情况, 对 Artin-Schreier 正合列可以自行类比 (留作练习). ]

考虑有限 Galois 扩张 $E/F$, 为了方便假设 $G:=\mathrm{Gal}(E/F)$. 带入 Kummer 正合列我们有 $G$-模的正合列$$1\to {\mu }_n(E)\to E^{\times }\to E^{\times n}\to 1.$$引长正合列得到$$1\to {\mu }_n(F)\to F^{\times }\to E^{\times n}\cap F^{\times }\to H^1(G,{\mu }_n(E))\to H^1(G,E^{\times })=1$$其中最后一项见 Hilbert 定理 90(推论 7.5.0.8). 至此我们得到$$E^{\times n}\cap F^{\times }/F^{\times n}\cong H^1(G,{\mu }_n(E))$$将 $x^n$ 打到 $[\sigma \mapsto \sigma (x)/x]$.

现在假设 ${\mu }_n(E)={\mu }_n(F)$, 则 $G$ 在 ${\mu }_n(E)$ 作用平凡, 故而 $H^1(G,{\mu }_n(E))=\mathrm{Hom}(G,{\mu }_n(F))$. 故此时有$$E^{\times n}\cap F^{\times }/F^{\times n}\cong \mathrm{Hom}(G,{\mu }_n(F)).$$

定理 6.4.0.1. 假设 $n\ge 1$ 且 $F$ 包含本原 $n$ 次单位根, 则我们有双射:$$\{F^{\mathrm{sep}}/E/F:E/F\text{为满足}\exp (E/F)|n\text{的有限Abel扩张}\}\leftrightarrow \{F^{\times n}<{\Delta }^{\times }:(\Delta /F^{\times n})<\infty \}$$为 $E\mapsto E^{\times n}\cap F^{\times }=:{\Delta }_E$ 和 $\Delta \mapsto F(\sqrt[n]{\Delta })$. 其中 $F(\sqrt[n]{\Delta })$ 为 $\{x^n-a:a\in \Delta \}$ 在 $F$ 上的分裂域.

另外, 这些还满足:

(a)	对上述对应 $E\leftrightsquigarrow \Delta$ 诱导出完美对: $$\mathrm{Gal}(E/F)\times \Delta /F^{\times n}\to {\mu }_n(F),(\sigma ,\bar{a})\mapsto \sigma \sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{a}$$且 $[E:F]=(\Delta :F^{\times n})$.
(b)	对于上述对应 $E\leftrightsquigarrow \Delta$ 和 $E^{\prime }\leftrightsquigarrow {\Delta }^{\prime }$, 我们有 $E\cap E^{\prime }\leftrightsquigarrow \Delta \cap {\Delta }^{\prime }$ 和 $E{E}^{\prime }\leftrightsquigarrow \Delta {\Delta }^{\prime }$.

证明. 均根据上述的推导不难看出.

$\square$