7.5. 挠子理论一瞥和应用

类似于概型理论里的挠子理论, 我们可以将其推广至小平展景.

定义 7.5.0.1. 对概形 $X$ 和平展覆盖 $\mathfrak{U}=\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$. 取取值为群 (不一定交换) 的平展层 $\mathcal{G}$, 设 $U_{i_0\cdots i_p}=U_{i_0}{\times }_X\cdots {\times }_X{U}_{i_p}$. 我们定义取值在 $\mathcal{G}$ 的 $1$-余链为 $g=(g_{ij}{)}_{(i,j)\in I^2}$ 使得 $g_{ij}\in \mathcal{G}(U_{ij})$ 满足$$g_{ij}{|}_{U_{ijk}}{g}_{jk}{|}_{U_{ijk}}=g_{ik}{|}_{U_{ijk}}.$$两个 $1$-余链 $g,g^{\prime }$, 定义 $g\sim g^{\prime }$ 使得存在 $(h_i{)}_{i\in I}$ 其中 $h_i\in \mathcal{G}(U_i)$ 满足$$g_{ij}^{\prime }=h_i{|}_{U_{ij}}{g}_{ij}(h_j{|}_{U_{ij}}{)}^{-1}.$$定义 ${\check{H}}^1(\mathfrak{U},\mathcal{G}):=\{g\}/\sim$.

注 7.5.0.2. 根据构造, 对于短正合列 $1\to {\mathcal{G}}^{\prime }\to \mathcal{G}\to {\mathcal{G}}^{\prime \prime }\to 1$, 我们有$$1\to \Gamma (X,{\mathcal{G}}^{\prime })\to \Gamma (X,\mathcal{G})\to \Gamma (X,{\mathcal{G}}^{\prime \prime })\to {\check{H}}^1(\mathfrak{U},{\mathcal{G}}^{\prime })\to {\check{H}}^1(\mathfrak{U},\mathcal{G})\to {\check{H}}^1(\mathfrak{U},{\mathcal{G}}^{\prime \prime }).$$

定义 7.5.0.3. 对概形 $X$ 和取值为群 (不一定交换) 的平展层 $\mathcal{G}$. 设 $\mathcal{S}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 存在右 $\mathcal{G}$-作用. 我们称 $\mathcal{S}$ 是 $\mathcal{G}$-挠子如果满足

(i) 存在平展覆盖 $\{U_i\to X\}$ 使得 $\mathcal{S}(U_i)\ne \varnothing$;

(ii) 对任意的平展映射 $U\to X$ 和 $s\in \Gamma (U,\mathcal{S})$, 映射 $\mathcal{G}{|}_U\to \mathcal{S}{|}_U,g\mapsto sg$ 是同构.

我们称 $\mathcal{S}$ 被 $\{U_i\to X\}$ 平凡化. 如果 $\mathcal{S}(X)\ne \varnothing$ 我们称 $\mathcal{S}$ 是平凡 $\mathcal{G}$-挠子.

这两个概念出现不是偶然, 事实上我们有如下结论:

定理 7.5.0.4. 对概形 $X$ 和取值为群 (不一定交换) 的平展层 $\mathcal{G}$. 我们有双射$$\{\text{被}\mathfrak{U}\text{平凡化的}\mathcal{G}\text{-挠子}\}/\cong ⟷{\check{H}}^1(\mathfrak{U},\mathcal{G}).$$

证明.. 我们阐述映射如何诱导. 给定被 $\mathfrak{U}$ 平凡化的 $\mathcal{G}$-挠子 $\mathcal{S}$. 对 $\mathfrak{U}=\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$, 给定 $s_i\in \mathcal{S}(U_i)$, 由于作用单可迁, 存在 $g_{ij}\in \mathcal{G}(U_{ij})$ 使得 $(s_i{|}_{U_{ij}})g_{ij}=s_j{|}_{U_{ij}}$. 则得到 $g=(g_{ij}{)}_{I^2}$. 对另一组 $s_i^{\prime }$, 我们可以有 $s_i^{\prime }=s_i{h}_i$, 故会得到 $g\sim g^{\prime }$, 因此良定义. 有关这个证明因为没什么意思所以我们略去, 参考 [21] 命题 11.1.

$\square$

注 7.5.0.5. 如果 $G$ 是有限常值群层且 $X$ 连通, 则$$\{G\text{-挠子}\}/\cong =\{\text{Galois群为}G\text{的}X\text{的Galois覆盖}\}={\mathrm{Hom}}_{\mathrm{cont}}({\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x}),G).$$

定理 7.5.0.6 (向量丛和挠子). 对概形 $X$ 和秩 $n$ 局部自由模构成的群 ${\mathrm{Vect}}_{\mathrm{Zar}}^n(X)$, 我们有$${\mathrm{Vect}}_{\mathrm{Zar}}^n(X)\cong {\check{H}}_{\mathrm{Zar}}^1(X,{\mathrm{GL}}_{n,X})\cong {\check{H}}_{\mathrm{fppf}}^1(X,{\mathrm{GL}}_{n,X})\cong {\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,{\mathrm{GL}}_{n,X}).$$

证明.. 忽略, 参考 [21] 定理 11.4.

$\square$

推论 7.5.0.7. 我们有$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,{\mathbb{G}}_{m,X})\cong \mathrm{Pic}(X).$$

证明.. 注意到 ${\mathbb{G}}_{m,X}$ 交换, 根据命题 7.2.0.4 和定理 7.5.0.6 即得到结果.

$\square$

推论 7.5.0.8 (Hilbert 定理 90). 对于有限 Galois 扩张 $L/k$, 有 $H^1(\mathrm{Gal}(L/k),L^{\ast })=0$.

证明.. 注意到$$H^1(\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k),(k^{\mathrm{sep}}{)}^{\ast })=\underset{\text{有限Galois覆盖}L/k}{\underrightarrow{\lim }}{H}^1(\mathrm{Gal}(L/k),L^{\ast })$$其中后者是 $L\subset L^{\prime }$ 诱导 $H^1(\mathrm{Gal}(L/k),L^{\ast })\hookrightarrow H^1(\mathrm{Gal}(L^{\prime }/k),(L^{\prime }{)}^{\ast })$. 根据推论 7.5.0.7 和定理 6.3.0.2 得到当 $X=\mathrm{Spec}k$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,{\mathbb{G}}_{m,X})\cong H^1(\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k),(k^{\mathrm{sep}}{)}^{\ast })$ 且$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,{\mathbb{G}}_{m,X})\cong \mathrm{Pic}(\mathrm{Spec}k)=0$$即可得到结论.

$\square$