11.1. 迹映射方法基础

考虑 $\mathrm{Ab}((-{)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内的函子. 对于平展映射 $f:Y\to X$, 有伴随对 $(f_{!},f^{-1})$ 和 $(f^{-1},f_{\ast })$. 因此得到映射 $\mathrm{id}\to f_{\ast }{f}^{-1}$ 和 $f_{!}{f}^{-1}\to \mathrm{id}$.

定义 11.1.0.1. 根据命题 5.3.0.2(iii), 当 $f$ 有限平展时 $f_{\ast }=f_{!}$, 因此有映射 $f_{\ast }{f}^{-1}\to \mathrm{id}$, 称之为迹映射.

命题 11.1.0.2. 设 $f:Y\to X$ 有限平展, 则迹映射被如下性质所决定:

(a) 和 $X$ 上的平展局部化交换;

(b) 若 $Y={\coprod }_{i=1}^{d}X$, 则迹映射是求和映射 $f_{\ast }{f}^{-1}\mathcal{F}={\mathcal{F}}^{\oplus d}\to \mathcal{F}$.

证明.. 根据引理 4.3.0.3, 用 (a) 考虑平展局部上自然是 (b) 中的情况.

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命题 11.1.0.3 (迹映射方法). 设 $f:Y\to X$ 处处满足 $\mathrm{deg}f=d$, 则不难看出 $\mathcal{F}\to f_{\ast }{f}^{-1}\mathcal{F}\to \mathcal{F}$ 是乘 $d$ 映射. 如果 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 满足乘 $d$ 映射是同构, 则有单射$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X,\mathcal{F})\hookrightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(Y,f^{-1}\mathcal{F}).$$特别的, 如果 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(Y,f^{-1}\mathcal{F})=0$, 则 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X,\mathcal{F})=0$.

证明.. 注意到因为 $f$ 有限, 则 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(Y,f^{-1}\mathcal{F})=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X,f_{\ast }{f}^{-1}\mathcal{F})$. 乘 $d$ 映射诱导$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X,\mathcal{F})\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(Y,f^{-1}\mathcal{F})\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X,\mathcal{F})$$是同构, 于是成立.

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