21.3. Poincaré 对偶及其应用

定理 21.3.0.1 (Poincaré 对偶). 设 $X$ 是可分闭域 $k$ 上纯 $d$ 维光滑可紧化概形, 对 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 有典范同构$${\mathrm{Ext}}_{\Lambda }^{2d-q}(\mathcal{F},\Lambda (d))\cong {\mathrm{Hom}}_{\Lambda }(H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F}),\Lambda ).$$若 $\mathcal{F}\in \mathrm{Loc}(X,\Lambda )$, 则有同构$$H^{2d-q}(X,\mathcal{H}o{m}_{\Lambda }(\mathcal{F},\Lambda (d)))\cong {\mathrm{Hom}}_{\Lambda }(H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F}),\Lambda ).$$

证明. 设 $f:X\to \mathrm{Spec}k$. 注意到 ${\mathrm{Hom}}_{\Lambda }(\mathcal{F},f^{-1}\Lambda (d)[2d-i])={\mathrm{Ext}}_{\Lambda }^{2d-i}(\mathcal{F},\Lambda (d))$ 且由于 $\Lambda$ 是内射 $\Lambda$-模 (Baer 判别法), 我们有$${\mathrm{Hom}}_{\Lambda }(R{f}_{!}\mathcal{F},\Lambda [-i])={\mathrm{Ext}}_{\Lambda }^{-i}(R{\Gamma }_c(X,\mathcal{F}),\Lambda )={\mathrm{Hom}}_{\Lambda }(H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathcal{F}),\Lambda ).$$根据定理 21.2.0.5 即可得到结论.

若 $\mathcal{F}\in \mathrm{Loc}(X,\Lambda )$, 只需证明 $H^{2d-q}(X,\mathcal{H}o{m}_{\Lambda }(\mathcal{F},\Lambda (d)))\cong {\mathrm{Ext}}_{\Lambda }^{2d-q}(\mathcal{F},\Lambda (d))$. 根据谱序列我们得知只需证明当 $q\ge 1$ 时 $\mathcal{E}x{t}_{\Lambda }^q(\mathcal{F},\Lambda )=0$. 这由 $\Lambda$ 是内射 $\Lambda$-模, 且问题平展局部, 局部系可以假设为常值层, 然后有自由 $\Lambda$-模预解即可.

$\square$

推论 21.3.0.2 (弱 Lefschetz 定理). 设可分闭域 $k$ 且 $X\subset {\mathbb{P}}_k^N$ 是闭子概形且 $H\subset {\mathbb{P}}_k^N$ 是超平面. 设 $X\backslash H$ 光滑, 则对任何 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 满足 $\mathcal{F}{|}_{X\backslash H}\in {\mathrm{Loc}}_{\mathrm{cons}}(X\backslash H,\Lambda )$, 则典范映射$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X\cap H,\mathcal{F}{|}_{X\cap H})$$当 $q<\dim X-1$ 时是双射; 当当 $q=\dim X-1$ 时是单射.

证明. 根据注 14.0.2 可知当 $q>\dim X$ 时 $H^q(X\backslash H,\mathcal{H}o{m}_{\Lambda }(\mathcal{F},\Lambda (d)))=0$. 由于 $\Lambda$ 是内射 $\Lambda$-模且层在此处可构建, 故自身和二次对偶同构, 因此再由定理 21.3.0.1 得到当 $q<\dim X$ 时 $H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X\backslash H,\mathcal{F})=0$. 再根据命题 15.2.0.3(iv) 即可.

$\square$

注 21.3.0.3. 复几何也有弱 Lefschetz 定理: 对 $n$ 维紧 Kähler 流形 $X$, 设 $Y\subset X$ 为光滑超曲面使得 $\mathcal{O}(Y)$ 丰沛 (或正性, 根据 Kodaira 嵌入定理), 则典范限制映射$$H^k(X,\mathbb{C})\to H^k(Y,\mathbb{C})$$在 $k\le n-2$ 时为双射, 在 $k=n-1$ 时为单射.

这个最标准的证明就是先用 Hodge 分解定理将其转化为 $H^q(X,{\Omega }_X^p)\to H^q(Y,{\Omega }_Y^p)$ 的情况, 然后注意到 ${\mathcal{O}}_X(-Y)$ 和 ${\mathcal{O}}_Y(Y)$ 会诱导有两个正合列, 之后用 Serre 对偶和 Kodaira-Nakano 消灭定理得到某个上同调为零, 然后考虑之前 ${\mathcal{O}}_X(-Y)$ 诱导短正合列引出的长正合列, 就可以看到 $H^q(X,{\Omega }_X^p)\to H^q(Y,{\Omega }_X^p{|}_Y)$ 有定理描述的样子, 之后考虑自然映射 $H^q(Y,{\Omega }_X^p{|}_Y)\to H^q(Y,{\Omega }_Y^p)$, 这个事实上先考虑映射的核和余核为 ${\Omega }_Y^{p-1}(-Y)$ 的元素, 然后用 ${\mathcal{O}}_Y(Y)$ 诱导短正合列引出的长正合列, 之后操作和之前类似, 这样就证明了定理. 细节参考 [16] 命题 5.2.6.

神奇的是, 这个定理有一个 Morse 理论的证明, 线丛 $\mathcal{O}(Y)$ 存在整体截面 $s$ 满足诱导除子为 $z(s)=Y$, 这个很容易做到. 考虑线丛上的度量为 $\frac{i}{2\pi }{R}^{\mathcal{O}(Y)}=\frac{i}{2\pi }\partial \bar{\partial }\log |s{|}^{-2}$, 那么考虑 $\varphi :X\to [-\infty ,\infty )$ 为 $\varphi (x)=\log |s{|}^2$, 注意到 ${\varphi }^{-1}(-\infty )=Y$, 我们将其视作一个 Morse 函数, 可以发现 $\mathrm{Hess}\varphi$ 的负特征值个数至少是 $n$, 这说明 $x$ 增大时, 是从 $Y$ 粘至少 $n$ 维胞腔, 这就得到纯粹拓扑上的解释. 细节参考 [9] 第 158 页.

更多的例子计算:

例 21.3.0.4. (i) 设 $X\subset {\mathbb{P}}_k^{m+1}$ 是光滑超曲面且 $k$ 代数闭. 设 $U={\mathbb{P}}_k^{m+1}\backslash X$, 则当 $q>m+1$ 时 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(U,\Lambda )=0$. 由 Gysin 序列得到映射$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\Lambda )\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{q+2}({\mathbb{P}}_k^{m+1},\Lambda )$$在 $q>m$ 时是同构, 在 $q=m$ 时是满射 (设核为 $K$). 故得到 $q>m$ 时$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\Lambda )\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q({\mathbb{P}}_k^m,\Lambda ),H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^m(X,\Lambda )\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^m({\mathbb{P}}_k^m,\Lambda )\oplus K.$$由 Poincaré 对偶 21.3.0.1 得到当 $q<m$ 时候 $H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\Lambda )\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2m-q}(X,\Lambda (m))$, 因此有$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda )\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }({\mathbb{P}}_k^m,\Lambda )\oplus K;$$

(ii) 若 $X\subset {\mathbb{P}}_k^N$ 是 $m$ 维光滑完全交且 $k$ 代数闭, 类似的也可以得到$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda )\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }({\mathbb{P}}_k^m,\Lambda )\oplus K;$$

(iii) 设 $X$ 是连通光滑的射影空间的闭子簇, 根据 Bertini 定理知有光滑列$$X=X_m\supset X_{m-1}\supset \cdots \supset X_1,$$其中后者为前者的超平面截面. 根据 Gysin 序列得到$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X_1,\Lambda )\twoheadrightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^3(X_2,\Lambda (1))\cong \cdots \cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2m-1}(X_x,\Lambda (m-1)).$$根据 Poincaré 对偶 21.3.0.1 得到 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,\Lambda (1))\hookrightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X_1,\Lambda (1))$, 即$$\mathrm{Pic}(X)[n]\hookrightarrow \mathrm{Pic}(X_1)[n].$$代数闭域上 Abel 簇的挠点 Zariski 稠密, 因此诱导单射$${\underline{\mathrm{Pic}}}^0(X)\hookrightarrow \mathrm{Jac}(X_1).$$因此代数闭域上光滑簇 $X$ 的 Picard 簇一定是一个一般位置曲线的 Jacobi 簇的子簇.