14. 上同调维数 II——仿射情况

定理 14.0.1. 设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的仿射簇, 则 $\mathrm{cd}(X)\le \dim X$.

证明. 固定挠层 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 对维数做归纳法.

当 $\dim X=0$, 则为有限映射, 因此根据 Leray 谱序列和推论 8.0.6 即可. 当 $\dim X=1$ 时即为定理 11.2.0.1. 假设 $d=\dim X>1$ 使得定理当 $<d$ 时均成立, 要证明对 $X$ 成立.

$\bullet$ 步骤 1. 约化到证明 ${\mathbb{A}}_k^d$ 的情况.

根据 Noether 正规化得到有限映射 $\delta :X\to {\mathbb{A}}_k^d$, 根据推论 8.0.6 和 Leray 谱序列得到 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathcal{F})=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i({\mathbb{A}}_k^d,{\delta }_{\ast }\mathcal{F})$, 再根据命题 10.2.0.2 得知 ${\delta }_{\ast }\mathcal{F}$ 依旧是挠层, 故只需对 ${\mathbb{A}}_k^d$ 证明.

$\bullet$ 步骤 2. 首先讨论两种情况, 为后续做铺垫.

$\bullet \bullet$ 设 $j:X\to Y$ 是开浸入且满足补集是某个有效 Cartier 除子 $D$ 的支集, 对 $q>0$, 层 $R^q{j}_{\ast }\mathcal{F}$ 在 $D$ 上支撑, 断言当 $a:=\mathrm{trdeg}(\kappa (y)/k)>d-q$ 时有 $(R^q{j}_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{y}}=0$.

取定义 $D$ 的局部函数 $f\in {\mathcal{O}}_{Y,y}$, 根据推论 8.0.4 有$$(R^q{j}_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{y}}=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{Y,y}^{\mathrm{sh}}{\times }_{Y}X,\mathcal{F})=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{Y,y}^{\mathrm{sh}}[1/f],\mathcal{F}).$$根据一个代数结论 (参考 Tag 0F0U) 有 ${\mathcal{O}}_{Y,y}^{\mathrm{sh}}[1/f]$ 是域 $k(t_1,...,t_a{)}^{\mathrm{sep}}(x)$ 上的 $(d-a-1)$-维有限型代数的滤余极限, 再根据引理 12.0.2 和归纳假设即可.

$\bullet \bullet$ 设 $Z$ 是 $k$ 上光滑 $d-1$ 维, 设 $E_a$ 为满足 $\mathrm{trdeg}(\kappa (z)/k)\le a$ 的集合, 不难得知其在特殊化下稳定. 若 $\mathcal{G}\mathrm{Ab}(Z_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 是支撑在 $E_a$ 上的挠层, 则当 $b>a$ 时 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^b(Z,\mathcal{G})=0$.

根据注 10.2.0.4 可以得到 $\mathcal{G}=\underrightarrow{\lim }{\mathcal{G}}_i$ 在 $E_a$ 上支撑, 根据归纳假设以及定理 6.5.0.2 即可.

$\bullet$ 步骤 3. 完成证明.

考虑典范分解其中 $j$ 是开浸入且满足补集是某个有效 Cartier 除子 $D$ 的支集. 考虑谱序列$$E_2^{p,q}=R^p{g}_{\ast }{R}^q{j}_{\ast }\mathcal{F}\Rightarrow R^{p+q}{f}_{\ast }\mathcal{F}.$$由于 $R^q{j}_{\ast }\mathcal{F}$ 在 $D$ 上支撑且 $g{|}_D$ 是同构, 故当 $p>0,q>0$ 时 $E_2^{p,q}=0$. 根据步骤 2 知当 $q>d$ 时 $R^q{j}_{\ast }\mathcal{F}=0$. 由于 $g$ 是紧合且相对维数是 $1$, 根据命题 13.3.0.1 得到当 $p>2$ 时有 $E_2^{p,q}=0$.故当 $q>2$ 有 $R^q{f}_{\ast }\mathcal{F}=g_{\ast }{R}^q{j}_{\ast }\mathcal{F}$. 根据步骤 2 第 1 条得知当 $q>2$ 有 $\mathrm{supp}{R}^q{f}_{\ast }\mathcal{F}\subset E_{d-q}\subset {\mathbb{A}}_k^{d-1}$. 根据步骤 2 第 2 条得知当 $p>d-q$ 且 $q>2$ 时有$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p({\mathbb{A}}_k^{d-1},R^q{f}_{\ast }\mathcal{F})=0.$$由推论 8.0.4 有一般点的茎 $(R^2{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{\eta }}=H^2({\mathbb{A}}_{\bar{\eta }}^1,\mathcal{F})=0$, 再用步骤 2 第 2 条得知当 $p>d-2$ 时有$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p({\mathbb{A}}_k^{d-1},R^2{f}_{\ast }\mathcal{F})=0.$$再用归纳假设得到当 $p>d-1$ 且 $q>2=0,1$ 时有$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p({\mathbb{A}}_k^{d-1},R^q{f}_{\ast }\mathcal{F})=0.$$综合上述结论, 考虑谱序列 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p({\mathbb{A}}_k^{d-1},R^q{f}_{\ast }\mathcal{F})\Rightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{p+q}({\mathbb{A}}_k^{d-1},\mathcal{F})$ 即可.

$\square$

注 14.0.2. 事实上对于一般的域 $K$ 和其上的有限型仿射概形 $X$, 都有$$\mathrm{cd}(X)\le \dim (X)+\mathrm{cd}(K)$$(证明基本类似, 略去). 甚至更有推广 (Artin 消灭定理): 若 $f:X\to Y$ 是域 $K$ 上有限型仿射映射, 若挠层 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 支撑在满足 $\mathrm{trdeg}(\kappa (x)/K)\le a$ 的区域上, 则 $R^q{f}_{\ast }\mathcal{F}$ 支撑在满足 $\mathrm{trdeg}(\kappa (x)/K)\le a-q$ 的区域上 (参考 Tag 0F0X).