3.1. 算畴定义

3.1.1定义以及例子

以下令 $\widehat{{\mathsf{Cat}}^{\times }}$ 为大范畴所构成的 (超大) 范畴以及其间保持有限乘积的函子构成的范畴.

定义 3.1.1.1. $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$-算畴是指二元组 $\mathcal{O}=({\mathcal{O}}^{\otimes },p_{\mathcal{O}})$, 其中

•	${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 是范畴;
•	$p_{\mathcal{O}}:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 为函子.

它们满足以下条件, 对于有限集 $I$, 记 ${\mathcal{O}}_I$ 为 $I$ 的纤维:

1.	${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 具有有限乘积, 且 $p_{\mathcal{O}}$ 保持有限乘积;
2.	对于任意有限集 $I\in \mathsf{Fin}$, 有 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中乘法诱导的范畴等价$$\prod _{i\in I}{\mathcal{O}}_{\{i\}}^{\otimes }\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{O}}_I^{\otimes };$$
3.	对于 $\mathsf{Fin}$ 中态射 $f:J\to I$ 以及 $X_i\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 态射 $\tilde{f}:{\prod }_{i\in I}{X}_i\to {\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)}$ 是 $p_{\mathcal{O}}$-推出态射, 即对于每个 $Y\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 图表$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}\left({\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)},Y\right){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}\left({\prod }_{i\in I}{X}_i,Y\right){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}\left(p\left({\prod }_{j\in J}{X}_j\right),p(Y)\right){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}\left(p\left({\prod }_{i\in I}{X}_i\right),p(Y)\right)-\circ \tilde{f}{p}_{\mathcal{O}}-\circ p(\tilde{f})$$是拉回图表.

令 $\mathcal{P}=(\mathcal{P},p_{\mathcal{P}})$ 为另一 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$-算畴, 则 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$-算畴间的态射是指交换图表$${\mathcal{O}}^{\otimes }{\mathcal{P}}^{\otimes }\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}),p_{\mathcal{O}}F{p}_{\mathcal{P}}$$且 $F$ 保持有限乘积. 全体算畴及其间态射构成全子范畴$$\mathsf{Op}\subseteq {\left({\mathsf{Cat}}^{\times }\right)}_{/\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}.$$

以下将 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$-算畴简称为算畴.

定义 3.1.1.2. 给定算畴 $\mathcal{O},\mathcal{P}\in \mathsf{Op}$, 将全体 $\mathcal{O}$ 到 $\mathcal{P}$ 的算畴态射记为 ${\mathsf{Fun}}_{\mathsf{Op}}(\mathcal{O},\mathcal{P})$. 它可以被描述为纤维$${\mathsf{Fun}}_{\mathsf{Op}}(\mathcal{O},\mathcal{P}){\mathsf{Fun}}^{\times }({\mathcal{O}}^{\otimes },{\mathcal{P}}^{\otimes })\{p_{\mathcal{O}}\}{\mathsf{Fun}}^{\times }({\mathcal{O}}^{\otimes },\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})).\text{┘}{p}_{\mathcal{P}}\circ -$$

记号 3.1.1.3.

•	记 ${\mathcal{O}}_{⟨1⟩}:=p_{\mathcal{O}}^{-1}(⟨1⟩)$ 为 $1$ 元集合 $⟨1⟩=\{1\}$ 处的纤维 1, 并将其称为算畴 $\mathcal{O}$ 的全范畴. 记其核为$${\mathcal{O}}^{\simeq }:={\left({\mathcal{O}}_{⟨1⟩}^{\otimes }\right)}^{\simeq }$$并称其为 $\mathcal{O}$ 的有色生象, 并将其内对象称为颜色.
•	对于有限集 $I\in \mathsf{Fin}$, 条件 2 保证每个 ${\mathcal{O}}_I^{\otimes }$ 中对象都可唯一写成一些颜色 $x_i\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$ 的乘积 ${\prod }_{i\in I}{x}_i$. 类比于经典的有色算畴 (请查阅词条), 我们也会将该乘积写为一族颜色 $\{x_i{\}}_{i\in I}$.

•	给定另一个颜色 $y\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$, 可通过伸展 $I=I\to ⟨1⟩$ 定义从 $\{x_i{\}}_{i\in I}$ 到 $y$ 的多元态射生象为$$\mathcal{O}(\{x_i{\}}_{i\in I};y){\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}\left(\{x_i{\}}_{i\in I},y\right)\ast {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(I,⟨1⟩).\text{┘}{p}_{\mathcal{O}}$$
•	对于 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中态射 $\phi :X\to Y$, 如果它在 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 的像为 $I=I\stackrel{g}{\to }J$, 则将其称为活性态射. 如果它是 $p_{\mathcal{O}}$-推出态射, 且其中 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 中的像为 $I\stackrel{f}{\leftarrow }J=J$, 则称其为惰性态射.

注 3.1.1.4. 我们有以下观点:

•	活性态射编码算畴的结构;
•	惰性态射捕获 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中乘积.

这是因为, 定义 3.1.1.1 的条件 3 所对应的态射即为惰性态射, 因此其确实编码了 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中乘积. 而不难发现对于任意伸展$$KIJ,fg$$都可将其改写为以下复合$$KKKIKJfgfg$$由此可将任意伸展写为活性态射与惰性态射的复合, 对于任意 $\mathcal{O}$ 中态射 $\phi :X\to Y$, 使得其在 $p_{\mathcal{O}}$ 下的像为 $I\leftarrow K\to J$, 则根据前文将其写为复合后, 我们知道 $I\stackrel{f}{\leftarrow }K=K$ 是惰性态射, 因此存在唯一的提升 $\tilde{f}:X\to Y$, 从而存在唯一的 $\psi :Y\to Z$ 使得 $p_{\mathcal{O}}(\psi )=g$ 且 $\psi \circ \tilde{f}=\phi$.

以下给出一些算畴的例子, 这些例子均来自于第 1.1.1 节.

例 3.1.1.5.

•	交换算畴 $\mathcal{C}omm=(\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}),\mathrm{id})$. 这是 $\mathsf{Op}$ 的终对象;
•	例 1.1.1.3 所述结合算畴 $\mathcal{A}ssoc$ 可升级为算畴, 具体定义见第 4.3 节;
•	平凡算畴 $\mathcal{T}riv=({\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}},p_{\mathcal{T}riv}=嵌入:{\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}}\hookrightarrow \mathsf{Span}(\mathsf{Fin}))$;
•	空算畴 ${\mathcal{T}riv}_{\varnothing }=(\ast ,p_{{\mathcal{T}riv}_{\varnothing }}:\ast \stackrel{⟨1⟩}{\hookrightarrow }\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}))$, 其中 $p_{{\mathcal{T}riv}_{\varnothing }}$ 为单点集 $⟨1⟩$ 的嵌入函子, 它是 $\mathsf{Op}$ 的始对象 (请读者自行验证);
•	令 $\mathcal{I}$ 为范畴, 令 $q:\mathsf{Fin}(\mathcal{I})\to \mathsf{Fin}$ 表示函子 ${\mathcal{I}}^{(-)}:{\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Cat}$ 的反直化. 定义 ${\mathcal{T}riv}_{\mathcal{I}}$ 为$${\mathcal{T}riv}_{\mathcal{I}}^{\otimes }=\mathsf{Fin}(\mathcal{I}{)}^{\mathrm{op}},p_{{\mathcal{T}riv}_{\mathcal{I}}}:\mathsf{Fin}(\mathcal{I}{)}^{\mathrm{op}}\stackrel{q^{\mathrm{op}}}{\to }{\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}}\hookrightarrow \mathsf{Span}(\mathsf{Fin}).$$并且将其称为由 $\mathcal{I}$ 生成的算畴, 不难发现前两个例子分别为 $\mathcal{I}=\ast$ 以及 $\mathcal{I}=\varnothing$ 的情况. ${\mathcal{T}riv}_{\mathcal{I}}$ 具有以下泛性质: 算畴态射 ${\mathcal{T}riv}_{\mathcal{I}}\to \mathcal{O}$ 即为函子 $\mathcal{I}\to {\mathcal{O}}_{⟨1⟩}^{\otimes }$.
•	带点算畴 ${\mathbb{E}}_0=({\mathsf{Span}}_{全体态射,单态射}(\mathsf{Fin}),p_{{\mathbb{E}}_0}=嵌入:{\mathsf{Span}}_{全体态射,单态射}(\mathsf{Fin})\to \mathsf{Span}(\mathsf{Fin}))$. 其活性态射为有限集的单射 $I\hookrightarrow J$.

算畴的等价定义

本节来给出更贴合于 [Lurie, 2017] 的算畴等价定义 (即香蕉空间中$(\infty ,1)$-算畴词条的定义).

命题 3.1.1.6. 考虑函子 $p_{\mathcal{O}}:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$, 则 $({\mathcal{O}}^{\otimes },p_{\mathcal{O}})$ 构成算畴当且仅当其满足以下条件:

(1)	对于 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 的全体惰性态射, ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中都具有其对应的 $p_{\mathcal{O}}$-推出态射;
(2)	对于每个 $I\in \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$, 全体伸展$${\rho }_i:I\hookleftarrow \{i\}=\{i\}$$对应的推出态射 ${\tilde{\rho }}_i$ 将诱导出范畴等价$${\mathcal{O}}_I^{\otimes }\stackrel{\sim }{\to }\prod _{i\in I}{\mathcal{O}}_{\{i\}}^{\otimes };$$
(3)	对于 $I\in \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 给定其对应的对象 $X\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 则 ${\tilde{\rho }}_i$ 诱导 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中的自然同构$$X\stackrel{\sim }{\to }\prod _{i\in I}{X}_i,$$换句话说, ${\tilde{\rho }}_i$ 将 $X$ 变为 $X_i$ 的乘积.

证明.

证明. 我们需要做的不过是简单的验证, 这繁而不难, 不过还是稍微做一下. 令 $\mathcal{O}$ 为定义 3.1.1.1 所述的算畴, 以下说明其满足命题 3.1.1.6 所给条件:

命题 3.1.1.6 的条件 (1).	(下文所述条件均为定义 3.1.1.1 中的, 使用超链接进行跳转也可发现 2) 考虑 $\mathsf{Fin}$ 中态射 $J\to I$ 以及 $X\in {\mathcal{O}}_I^{\otimes }$. 由条件 2 可知可将 $X$ 唯一分解为 ${\prod }_{i\in I}{X}_i$, 而后令 $Y:={\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)}$ 且定义 $\tilde{f}:X\to Y$ 为第 $j$ 个分量是投影 ${\prod }_{i\in I}{X}_i\to X_{f(j)}$. 因此根据条件 3 可知 $\tilde{f}$ 是 $I\stackrel{f}{\leftarrow }J=J$ 的 $p_{\mathcal{O}}$-推出提升;
命题 3.1.1.6 的条件 (3).	(同上条) 仍然使用条件 2 将 $X\in {\mathcal{O}}_I^{\otimes }$ 写为乘积 ${\prod }_{i\in I}{X}_i$. 根据条件 3, $X={\prod }_{i\in I}{X}_i\to X_i$ 为 ${\rho }_i:I\hookleftarrow \{i\}=\{i\}$ 的提升;
命题 3.1.1.6 的条件 (2).	(同上条) 说明 ${\tilde{\rho }}_i$ 所诱导态射 ${\mathcal{O}}_I^{\otimes }\to {\prod }_{i\in I}{\mathcal{O}}_{\{i\}}^{\otimes }$ 为范畴等价就只需说明其为条件 2 所给出的范畴等价 ${\prod }_{i\in I}{\mathcal{O}}_{\{i\}}^{\otimes }\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{O}}_I^{\otimes }$ 的逆即可, 而这无非是 ${\prod }_{i\in I}{X}_i\to X_i$ 为 ${\rho }_i$ 所对应的 $p_{\mathcal{O}}$-提升态射的推论.

接下来说明满足命题 3.1.1.6 的 $(\mathcal{O},p_{\mathcal{O}})$ 是算畴.

定义 3.1.1.1 的条件 1.	(下文所述条件均为命题 3.1.1.6 中的) 考虑 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 令 $T_i:=p_{\mathcal{O}}(Y^i)$, $T:={\coprod }_{i\in I}{T}_i$. 取定 ${\rho }_{t_i}:T_i\hookleftarrow \{t_i\}=\{t_i\}$ 的提升 $\widetilde{{\rho }_{t_i}}:Y_i\to Y_i^{t_i}$, 条件 (3) 说明有同构 $Y_i\simeq {\prod }_{t_i\in T_i}{Y}_i^{t_i}$, 再根据条件 (2) 可知存在 $Y\in {\mathcal{O}}_T^{\otimes }$ 使得其被 ${\rho }_{t_i}^{\prime }:T\hookleftarrow \{t_i\}=\{t_i\}$ 对应的提升映到 $Y_i^{t_i}$, 并且可以得知 $Y$ 可分解为 ${\prod }_{i\in I}{\prod }_{t_i\in T_i}{Y}_i^{t_i}$. 这无异于说 $Y\simeq {\prod }_{i\in I}{Y}_i$, 由此说明 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 具有有限乘积;
定义 3.1.1.1 的条件 2.	只需说明 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中乘法诱导的函子$$\prod _{i\in I}{\mathcal{O}}_{\{i\}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}_I^{\otimes }$$是条件 (2) 所述范畴等价的逆即可, 而这由条件 (3) 所确保;
定义 3.1.1.1 的条件 3.	考虑有限集间态射 $f:J\to I$, 且 $X_i\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 以下说明 $\tilde{f}:{\prod }_{i\in I}{X}_i\to {\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)}$ 是 $p_{\mathcal{O}}$-推出态射. ∘ 首先证明对于所有 $i\in I$, $p(X_i)=\ast$ 的情况. 令 $\bar{f}:{\prod }_{i\in I}{X}_i\to Y$ 为 $f$ 的推出提升. 根据推出提升的泛性质可知存在态射 $Y\to {\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)}$, 我们希望这个态射会是同构. 注意到这个态射实际上是在 ${\mathcal{O}}_J^{\otimes }$ 中的, 因此利用条件 (2) 可知只需将其沿诸 ${\rho }_j$ 进行传输后验证是否为同构即可. 将 ${\rho }_j$ 所对应的推出传输函子记为 $({\rho }_j{)}_{!}$, 考虑伸展的复合$$\{f(j)\}J\{j\}IJ\ast ,f$$即为 ${\rho }_{f(j)}$, 从而得到 $({\rho }_{f(j)}{)}_{!}Y\simeq X_{f(j)}$. 同理得到 $({\rho }_{f(j)}{)}_{!}\left({\prod }_{j\in J}{X}_{f(j)}\right)\simeq X_{f(j)}$, 从而证明了特殊情况; ∘ 以下说明一般情况, 为此将每个 $X_i$ 写为乘积 ${\prod }_{t_i\in T_i}{X}_i^{t_i}$, 而后再对 ${\prod }_{i\in I}{\prod }_{t_i\in T_i}{X}_i^{t_i}$ 进行如上论证即可.

$\square$

注 3.1.1.7. 出于后文的一些目的, 注意到命题 3.1.1.6 中 (3)  相当于在说对于任意的 $I,J\in \mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 以及使得 $p(X)=I$, $p(Y)=J$ 的 $X,Y\in {\mathcal{O}}^{\otimes }$, 给定 ${\rho }_j:J\hookleftarrow \{j\}=\{j\}$ 所对应的推出边 $Y\to Y_j$, 有拉回图表$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}(X,Y){\prod }_{j\in J}{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}(X,Y_j){\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(I,J){\prod }_{j\in J}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}(I,\{j\})\text{┘}{p}_{\mathcal{O}}{p}_{\mathcal{O}}$$事实上, 由于底部的横向箭头为同构, 因此顶部箭头也是同构, 因此这就相当于说 $Y$ 是诸 $Y_j$ 的乘积.

推论 3.1.1.8. 令 $\mathcal{O}$ 为算畴, 则 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 的惰性态射即为形如 $\tilde{f}:{\prod }_{i\in I}{X}_i\to {\prod }_{j\in J}$ 的态射, 其中 $f:J\to I$ 为 $\mathsf{Fin}$ 中态射, 且 $X_i\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$ 为颜色.

类似地, 令 $\mathcal{P}$ 也为算畴, 且 ${\phi }^{\otimes }:{\mathcal{P}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}^{\otimes }$ 为 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 上的态射, 则 ${\phi }^{\otimes }$ 为算畴间态射当且仅当其保持惰性态射.

术语翻译

算畴 • 英文 operad

有色生象 • 美式英文 anima of colors

颜色 • 美式英文 color

惰性态射 • 英文 inert morphism

活性态射 • 英文 active morphism