伸展范畴

在范畴论中, 范畴 $\mathcal{C}$ 的伸展范畴 (也称为对应范畴) 是范畴 $\mathsf{Span}(\mathcal{C})$, 其对象与 $\mathcal{C}$ 相同, 但其中的态射是 $\mathcal{C}$ 中的伸展. 换言之, 从对象 $x$ 到 $y$ 的态射是形如$$wxy$$的图表, 而态射复合则由 $\mathcal{C}$ 中的拉回给出, 例如图表$$w\underset{y}{\times }{w}^{\prime }w{w}^{\prime }xyz\text{┌}$$给出了一个从 $x$ 到 $y$ 的态射与一个从 $y$ 到 $z$ 的态射的复合.

1定义

伸展范畴

定义 1.1 (伸展范畴). 设 $\mathcal{C}$ 是小范畴, 具有有限极限. 则 $\mathcal{C}$ 的伸展范畴为 $2$-范畴 $\mathsf{Span}(\mathcal{C})$, 定义如下:

•	其对象与 $\mathcal{C}$ 的对象相同.

•	对 $x,y\in \mathcal{C}$, 定义态射范畴$$\mathsf{Span}(\mathcal{C})(x,y)={\mathcal{C}}_{/x\times y},$$其中右边是俯范畴.

•	对 $x\in \mathcal{C}$, 定义 $x$ 的恒同态射为$$1_x={\Delta }_x\in \mathsf{Span}(\mathcal{C})(x,x),$$其中 ${\Delta }_x$ 是 $x$ 的对角态射, 视为 ${\mathcal{C}}_{/x\times x}$ 的对象.

•	对 $x,y,z\in \mathcal{C}$, 定义复合函子$$\begin{array}{rl}\circ :\mathsf{Span}(\mathcal{C})(y,z)\times \mathsf{Span}(\mathcal{C})(x,y)& ⟶\mathsf{Span}(\mathcal{C})(x,z),\\ (w,w^{\prime })& ⟼w\underset{y}{\times }{w}^{\prime }.\end{array}$$

这些信息加上自然的单位子、结合子使得 $\mathsf{Span}(\mathcal{C})$ 成为 $2$-范畴.

常常将 $\mathsf{Span}(\mathcal{C})$ 视为 $1$-范畴, 即普通范畴. 此时, 态射集 $\mathsf{Span}(\mathcal{C})(x,y)$ 取为相应的态射范畴中的对象同构类的集合.

在上述定义中, $\mathcal{C}$ 也可以是具有有限极限的 $(\infty ,1)$-范畴. 此时, 也可以类似定义伸展范畴 $\mathsf{Span}(\mathcal{C})$, 它是 $(\infty ,2)$-范畴, 也可以将其视为 $(\infty ,1)$-范畴.

$n$-伸展范畴

2相关概念

术语翻译

伸展范畴 • 英文 category of spans