2.1. 完备 Segal 生象

2.1.1完备 Segal 生象

首先回顾什么是单纯对象.

定义 2.1.1.1. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, 则 $\mathcal{C}$ 的单纯对象是指函子$${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}.$$其间态射定义为函子的自然变换, 将全体单纯对象构成的范畴记为 $\mathsf{s}\mathcal{C}$. 当 $\mathcal{C}=\mathsf{Ani}$ 时, 称其为单纯生象.

而 Segal 生象是满足一些额外的相容性条件的单纯生象, 这些相容性条件大概就在表述态射的复合.

定义 2.1.1.2. 如果单纯生象 $X_{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$ 对于任意 $[n]\in \mathbb{\Delta }$ 都有自然同构$$X_n\to \underset{n个X_1}{\underbrace{X_1{\times }_{X_0}{X}_1{\times }_{X_0}\cdots {\times }_{X_0}{X}_1}},$$则称 $X_{\bullet }$ 是 Segal 生象. 记全体 Segal 生象所构成全子范畴为 $\mathsf{Seg}(\mathsf{Ani})\subset \mathsf{sAni}$.

我们常常将上述条件称为 Segal 条件. 不难发现, 这一条件实际上是在说, 任意 $n$ 个首尾相接的 $1$-态射 ($X_1{\times }_{X_0}{X}_1{\times }_{X_0}\cdots {\times }_{X_0}{X}_1$ 中的对象), 可以通过同伦意义下唯一的方式将它们复合起来, 得到同伦意义下唯一的 $n$-态射 ($X_n$ 中的对象). 由此得到以下术语

定义 2.1.1.3. 令 $X\in \mathsf{Seg}(\mathsf{Ani})$ 为 Segal 生象, 则称 $X_0$ 中的对象为 $X$ 的对象, $X_1$ 中的对象为 $X$ 的态射, $X_2$ 中的对象为同伦. 如果态射 $f\in X_1$ 满足 $d_1(f)\simeq x$ 且 $d_2(f)=y$, 则记 $f$ 为 $f:x\to y$. 给定对象 $x,y\in X_0$, 定义 $\mathrm{Hom}$ 生象为$${\mathrm{Hom}}_X(x,y)X_1\ast X_0\times X_0.┌(d_1,d_0)(x,y)$$

定义 2.1.1.4. 令 $X\in \mathsf{Seg}(\mathsf{Ani})$ 为 Segal 生象. 考虑态射 $f:x\to y$, 如果存在同伦 $\sigma ,\tau \in X_2$ 使得 $d_0(\sigma )\simeq f$, $d_1(\sigma )\simeq {\mathrm{id}}_x$, $d_2(\tau )\simeq f$, $d_1(\tau )\simeq {\mathrm{id}}_y$, 那么就称 $f$ 为同构. 换句话说, $f$ 为同构当且仅当存在态射 $g,h:y\to x$ 使得 $gf\simeq {\mathrm{id}}_x$, 且 $fh\simeq {\mathrm{id}}_y$, 此时容易得知 $h\simeq g$.

记 $X_1^{\sim }\subset X_1$ 为由全体同构所生成的全子生象.

定义 2.1.1.5. 如果 Segal 生象 $X\in \mathsf{Seg}(\mathsf{Ani})$ 满足$$X_0\to X_1^{\sim },x\mapsto {\mathrm{id}}_x$$是生象间的同构, 则称其为完备的, 上述条件也称为 Rezk 条件. 记由完备 Segal 生象所构成的全子范畴为 $\mathsf{CSeg}(\mathsf{Ani})\subset \mathsf{Seg}(\mathsf{Ani})$.

以下记全体 $1$-范畴所构成范畴为 ${\mathsf{Cat}}_{(1)}$.

定义 2.1.1.6. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, 则 $\mathcal{C}$ 的脉 (或 Rezk 脉) 定义为复合$${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\hookrightarrow {\mathsf{Cat}}_{(1)}^{\mathrm{op}}\hookrightarrow {\mathsf{Cat}}^{\mathrm{op}}\stackrel{{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}(-,\mathcal{C})}{\to }\mathsf{Ani}.$$该构造关于 $\mathcal{C}$ 具有函子性, 由此给出函子 $N:\mathsf{Cat}\to \mathsf{sAni}$.

注 2.1.1.7. 读者可在实现–脉伴随词条中对其进行进一步的理解. 我们将对应的实现记为 $|-|$.

定理 2.1.1.8. 脉函子$$N:\mathsf{Cat}\to \mathsf{sAni},$$是全忠实的, 且其本质像为 $\mathsf{CSeg}(\mathsf{Ani})$.

证明. [Hebestreit and Steinebrunner, 2025]

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因此, 完备 Segal 生象就对应于 $(\infty ,1)$-范畴. 最后来给出几则事实.

命题 2.1.1.9. 脉函子保持滤余极限, 此外 $\mathsf{Cat}$ 中滤过余极限与有限极限交换.

证明. 由实现–脉伴随可知脉函子为右伴随, 而 $\mathsf{Cat}$ 与 $\mathsf{sAni}$ 均为可表现范畴, 使用伴随函子定理立刻得知结论. 而后一结论可由 $\mathsf{sAni}$ 中滤余极限与有限极限的交换性得到.

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推论 2.1.1.10. 对于任意有限范畴 $\mathcal{I}$, 函子 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}(\mathcal{I},-):\mathsf{Cat}\to \mathsf{Ani}$ 均保持滤余极限. 特别地, 核函子 $(-{)}^{\simeq }:\mathsf{Cat}\to \mathsf{Ani}$ 也保持滤余极限.

证明. 注意到 $(-{)}^{\simeq }\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}([0],-)$, 因此只需验证有限范畴 $\mathcal{I}$ 的情况即可. 由于有限范畴所构成的范畴 ${\mathsf{Cat}}^{\mathrm{fin}}\subset \mathsf{Cat}$ 是由 $\varnothing ,[0],[1]$ 通过推出所生成的范畴. 因此一切约化到 $\varnothing ,[0],[1]$ 的情况. 当 $\mathcal{I}=\varnothing$ 时显然成立, 以下只说明 $[0]$ 和 $[1]$ 的情况. 而不难发现 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}([n],-)$ 对应于$$\mathsf{Cat}\stackrel{N}{\to }\mathsf{sAni}\stackrel{{\mathrm{ev}}_n}{\to }\mathsf{Ani}.$$由命题 2.1.1.9 立刻得知结果.

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