1.1. 无色算畴与多元算畴

1.1.1无色算畴

注 1.1.1.1. “无色算畴” 即指香蕉空间中的算畴.

首先, 给定对称幺半 $1$-范畴 $(\mathcal{C},\otimes ,1)$, 我们想在 $A\in \mathcal{C}$ 上定义一些代数结构.

这些结构常常以 $\mathbf{n}$ 元运算 ($n$ 为自然数) 的形式给出, 即从 $A$ 的 $n$ 重张量积打到 $A$ 的映射 $A^{\otimes n}\to A$. 比如说若 $A$ 为 $\mathcal{C}$ 中的结合代数对象, 则它有乘法运算 $\cdot :A^{\otimes 2}\to A,(x,y)\mapsto xy$ 以及单位运算 $1:A^{\otimes 0}\simeq 1\to A$.

注意到, 我们可以通过将这些运算进行组合, 从而衍生出更多的运算, 比如说给定自然数 $k,n_1,\cdots ,n_k\in \mathbb{N}$, 并且给定 $A$ 上的运算$$P:A^{\otimes k}\to A以及Q_i:A^{\otimes n_i}\to A,i=1,2,\cdots ,k$$那么, 我们实际上可以得到一个这样的 $n:={\sum }_{i=1}^k{n}_i$ 元运算 $P(Q_1,\cdots ,Q_k)$, 它表现为以下态射复合$$A^{\otimes n}\simeq \underset{i=1}{\overset{k}{⨂}}{A}^{\otimes n_i}\stackrel{{⨂}_{i=1}^k{Q}_i}{\to }{A}^{\otimes k}\stackrel{P}{\to }A.$$此时, 我们常称 $P(Q_1,\cdots ,Q_k)$ 为 $\mathbf{P}$ 与 $({\mathbf{Q}}_1,\cdots ,{\mathbf{Q}}_{\mathbf{k}})$ 的复合. 类似地, 我们也可以考虑恒等运算 $\mathrm{id}:A\to A,x\mapsto x$.; 此外, 我们还可以对于 $n$ 元运算 $P$ 的输入进行一些操作, 比如取置换 $\sigma \in {\Sigma }_n$¹则可以得到新的运算$$(P\sigma )(x_1,\cdots ,x_n):=P(x_{\sigma (1)},\cdots ,x_{\sigma (n)}).$$接下来, 我们将上述内容置于结合代数 $A$ 上, 那么就可以得到 $n!$ 种可能的方式来构造 $n$ 元运算: 对于任意置换 $\sigma \in {\Sigma }_n:={\mathrm{Aut}}_{\mathsf{Set}}(\{1,2,\cdots ,n\})$, 我们都可以得到乘法运算 $m_{\sigma }:A^{\otimes n}\to A$, 定义为 $m_{\sigma }(x_1,\cdots ,x_n):=x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}$.

对于这堆运算以及它们的复合, 置换, 我们毫无疑问需要一个工具来公理化的处理它们, 无色算畴就是一种公理化的尝试 ²

定义 1.1.1.2 ([May, 1972],[Boardman and Vogt, 1973]). 无色算畴 $\mathcal{O}$ 是指以下信息:

•	对于每个自然数 $n$, 有集合 $\mathcal{O}(n)$ 表示全体 $n$ 元运算;
•	对于任意自然数 $k$ 及 $n_1,\cdots ,n_k$, 运算的复合给出映射$$-\circ -:\mathcal{O}(k)\times \prod _{i=1}^k\mathcal{O}(n_i)\to \mathcal{O}(n_1+\cdots +n_k),(P,Q_1,\cdots ,Q_k)\mapsto P(Q_1,\cdots ,Q_k);$$
•	$\mathcal{O}(1)$ 中存在运算 $\mathrm{id}$, 称为恒等运算;
•	复合满足单位律与结合律, 即$$\begin{array}{rl}P(\mathrm{id},\cdots ,\mathrm{id})=& P=\mathrm{id}(P),\\ R(P_1(Q_1^1,\cdots ,Q_{k_1}^1),\cdots ,P_l(Q_1^l,\cdots ,Q_{k_l}^l))& =(R(P_1,\cdots ,P_l))(Q_1^1,\cdots ,Q_{k_1}^1,Q_1^2,\cdots ,Q_{k_l}^l);\end{array}$$
•	对于每个自然数 $n$, $\mathcal{O}(n)$ 上都带有来自 ${\Sigma }_n$ 的右作用. $\mathcal{O}$ 中的复合映射与置换的作用相容, 即对于自然数 $k$ 及 $n_1,\cdots ,n_k$, 对于任意置换 $\sigma \in {\Sigma }_k$, 都有$$(P\sigma )\circ (Q_1,\cdots ,Q_n)\simeq P(Q_{\sigma (1)},\cdots ,Q_{\sigma (n)}).$$

以下给出一些无色算畴的例子 (由于本质上是一样的, 我们将混着用无色算畴, 有色算畴以及算畴的符号).

例 1.1.1.3 (结合算畴). 结合算畴 $\mathcal{A}ssoc$ 是这样的无色算畴: $\mathcal{A}ssoc(n):={\Sigma }_n$, 即对于每个置换 $\sigma \in {\Sigma }_n$, 都有 $n$ 元运算与之对应.

例 1.1.1.4 (交换算畴). 交换算畴 $\mathcal{C}omm$ 是这样的无色算畴: $\mathcal{C}omm(n):=\ast$, 即对于每个自然数 $n$, 都只有一个 $n$ 元运算.

例 1.1.1.5 (平凡算畴). 平凡算畴 $\mathcal{T}riv$ 是这样的无色算畴: $\mathsf{Triv}(1)=\{\mathrm{id}\}$, 且对于 $n\ne 1$, 有 $\mathsf{Triv}(n)=\varnothing$.

例 1.1.1.6 (带点算畴). 带点算畴 ${\mathbb{E}}_0$ 是这样的无色算畴: ${\mathbb{E}}_0(1)=\{\mathrm{id}\}$, ${\mathbb{E}}_0(0)=\{\eta \}$ 且对于 $n\ge 2$ 时, 有 ${\mathbb{E}}_0(n)=\varnothing$.

例 1.1.1.7 (${\mathbb{E}}_k$-算畴). 对于每个 $k\ge 0$, 存在带有拓扑结构的无色算畴 (即拓扑算畴) ${\mathbb{E}}_k$, 称为 $\mathbf{k}$ 维小圆盘算畴 (或 $k$ 维小方体算畴). 其 $n$ 元运算也被称为矩形嵌入, 这是指 $n$ 份 $k$ 维立方体打到某个 $k$ 维立方体的单射$$f:\coprod _{i=1}^n[0,1{]}^k\hookrightarrow [0,1{]}^k$$使得 $f$ 限制在每个分支上均为仿射函数$$[0,1{]}^k\to [0,1{]}^k,(x_i{)}_{i=1}^k\mapsto (a_i{x}_i+b_i{)}_{i=1}^k,$$这允许我们缩放或者移动立方体, 但是不能使用任何其它方式旋转扭曲它.

${\mathbb{E}}_k$ 的复合映射由矩形嵌入的复合给出.

定义 1.1.1.8. 给定无色算畴 $\mathcal{O}$ 与 $\mathcal{P}$, 它们之间的算畴态射是指这样的 $f:\mathcal{O}\to \mathcal{P}$: 对于每个自然数 $n$, 都有 $f(n):\mathcal{O}(n)\to \mathcal{P}(n)$, 且 $f$ 保持恒等运算, 运算的复合以及置换.

注 1.1.1.9. 当 $n=1$ 时, 存在算畴间的态射 ${\mathbb{E}}_1\to \mathcal{A}ssoc$ 使得对于每个自然数 $n$, 都有同伦等价 ${\mathbb{E}}_1(n)\simeq \mathcal{A}ssoc(n)$. 特别地, 将集合/拓扑空间过渡为生象 (即在算畴上工作时) 后, ${\mathbb{E}}_1$ 即为 $\mathcal{A}ssoc$, 因此在旧文献中, 常将结合代数称为 ${\mathbb{E}}_1$-代数.

例 1.1.1.10 (自同态算畴). 对于对称幺半 $1$-范畴 $\mathcal{C}$ 中对象 $A$, 可定义自同态算畴 ${\mathcal{E}nd}_{\mathcal{C}}(A)$ 为这样的无色算畴: ${\mathcal{E}nd}_{\mathcal{C}}(A)(n):={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A^{\otimes n},A)$. ${\mathcal{E}nd}_{\mathcal{C}}(A)$ 中的复合由 $\mathcal{C}$ 中的复合给出.

定义 1.1.1.11. 令 $\mathcal{O}$ 为无色算畴, 且 $\mathcal{C}$ 为对称幺半 $1$-范畴. 则 $\mathcal{C}$ 中的 $\mathcal{O}$-代数是指二元组 $(A,f_A)$, 其中 $A$ 为 $\mathcal{C}$ 中对象, $f_A$ 为无色算畴间的态射 $\mathcal{O}\to {\mathcal{E}nd}_{\mathcal{C}}(A)$.

1.1.2有色算畴

尽管前述的无色算畴定义上非常的优雅, 但是我们不得不承认一点: 它只能描述一个对象的代数信息, 而无法描述多个对象之间的. 比如说, 如果我们想描述一个结合代数 $A$ 的左模 $M$, 我们就需要给出 $\mathcal{C}$ 中的态射$$\mathrm{act}:A\otimes M\to M,(a,m)\mapsto am,$$此时 $A\otimes M$ 并非某个对象的张量幂, 而是两个对象的张量积, 这使用无色算畴是无法表达的. 现在, 我们想要一种能够描述一族对象 $(A_x)$ 之间的代数运算的工具, 即我们想描述形如$$P:A_{y_1}\otimes \cdots \otimes A_{y_n}\to A_x$$的代数运算. 为此, 我们只需要对于无色算畴的定义进行推广, 将无色算畴所描绘的单一代数对象称为 “颜色”, 而将颜色 $x$ 所对应的 $\mathcal{O}(n)$ 改写为 $\mathcal{O}((x,\cdots ,x);x)$, 如此这般, 就可以描述出多个互不关联的对象, 最后, 我们再加入多个颜色 $(y_1,\cdots ,y_n)$ 到 $x$ 的运算, 就可以得到我们想要的结构. 我们将这种结构称为有色算畴.

定义 1.1.2.1 (有色算畴). 有色算畴 $\mathcal{O}$ 是指以下信息:

•	集合 ${\mathcal{O}}^{\simeq }$, 其内元素称为颜色 (或 $\mathcal{O}$ 的对象);
•	对于颜色 $y_1,\cdots ,y_n\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$, 存在集合 $\mathcal{O}((y_1,\cdots ,y_n);x)$, 它表示从 $(y_1,\cdots ,y_n)$ 打到 $x$ 的多元态射. 此时将 $x$ 称为输出色, 而 $(y_1,\cdots ,y_n)$ 称为输入色;
•	对于 $i=1,\cdots ,n$ 以及 $j=1,\cdots ,k_i$, 给定颜色 $z_j^i\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$, 存在复合映射$$-\circ -:\mathcal{O}((y_1,\cdots ,y_n);x)\times \prod _{i=1}^n\mathcal{O}((z_1^i,\cdots ,z_{k_i}^i);y_i)\to \mathcal{O}((z_1^1,\cdots ,z_{k_n}^n);x);$$
•	每个颜色 $x$ 都具有恒等运算 ${\mathrm{id}}_x\in \mathcal{O}((x);x)$;
•	态射的复合需要满足如定义 1.1.1.2 所述的单位律以及结合律;
•	对于每个置换 $\sigma \in {\Sigma }_n$, 都存在 “置换同构” $$\mathcal{O}((y_1,\cdots ,y_n);x)\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{O}((y_{\sigma (1)},\cdots ,y_{\sigma (n)});x)$$它与 ${\Sigma }_n$ 中的乘法 (即置换的复合) 以及 $\mathcal{O}$ 中复合是相容的.

不妨将从 $(y_1,\cdots ,y_n)$ 打到 $x$ 的多元态射 $P$ 视为以下图表 ³而多元态射的复合可视为 (此时 $n=k_1=3$, $k_2=0$ 且 $k_3=2$)恒等态射也可表述为最后, 对于置换在多元态射上的作用, 我们可以将其表述为

定义 1.1.2.2. 令 $\mathcal{O}$, $\mathcal{P}$ 为有色算畴, 则从 $\mathcal{O}$ 打到 $\mathcal{P}$ 的有色算畴态射 $f:\mathcal{O}\to \mathcal{P}$ 是指以下信息:

•	集合映射 $f:{\mathcal{O}}^{\simeq }\to {\mathcal{P}}^{\simeq }$;
•	对于任意一族颜色 $x,y_1,\cdots ,y_n\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$, 都有多元态射集间的映射$$f:\mathcal{O}((y_1,\cdots ,y_n);x)\to \mathcal{P}((f(y_1),\cdots ,f(y_n));f(x))$$

且 $f$ 需保持恒等运算, 运算的复合以及置换.

以下例子说明如何将无色算畴升级为有色算畴, 事实上, 无色算畴是有色算畴的胚化.

例 1.1.2.3. 每个无色算畴 $\mathcal{O}$ 都可以自动的升级为有色算畴, 我们将升级后的有色算畴仍记为 $\mathcal{O}$:

•	取 ${\mathcal{O}}^{\simeq }$ 为单点集 $\{\ast \}$;
•	$\mathcal{O}((\underset{n个}{\underbrace{\ast ,\cdots ,\ast }});\ast ):=\mathcal{O}(n)$.

因此 $\mathcal{A}ssoc,\mathcal{C}omm$ 等无色算畴均可视为有色算畴.

也可以从有色算畴提出某个颜色使其变为该颜色的无色算畴

例 1.1.2.4. 给定有色算畴 $\mathcal{O}$ 以及颜色 $x\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$, 可以得到这样的无色算畴 ${\mathcal{O}}_x$ : ${\mathcal{O}}_x(n):=\mathcal{O}((\underset{n个}{\underbrace{x,\cdots ,x}});x)$, 若再将 ${\mathcal{O}}_x$ 视为有色算畴, 则有典范的嵌入 ${\mathcal{O}}_x\hookrightarrow \mathcal{O}$.

例 1.1.2.5 (多元态射算畴). 令 $\mathcal{C}$ 为对称幺半 $1$-范畴. $\mathcal{C}$ 中的多元态射算畴 ⁴${\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}$ 是这样的有色算畴:

•	${\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}$ 的颜色即为 $\mathcal{C}$ 的对象;
•	对于 $\mathcal{C}$ 中对象 $x,y_1,\cdots ,y_n$, $${\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}((y_1,\cdots ,y_n);x):={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(y_1\otimes \cdots \otimes y_n,x);$$
•	对于每个对象 $x\in \mathcal{C}$, ${\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}$ 中其恒等运算定义为 ${\mathrm{id}}_x$;
•	多元态射的复合由 $\mathcal{C}$ 中的态射复合所诱导;
•	置换同构为 $y_1\otimes \cdots \otimes y_n\simeq y_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes y_{\sigma (n)}$.

注意到取 $A\in \mathcal{C}$ , $({\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}{)}_A$ 即为自同态算畴.

例 1.1.2.6 (交换模算畴). 交换模算畴 ⁵$\mathcal{CM}od$ 是这样的有色算畴:

•	${\mathcal{CM}od}^{\simeq }:=\{a,m\}$;
•	当输出色为 $a$ 时, 运算应当表示交换代数结构, 即只有在所有的输入色均为 $a$ 时才有意义, 具体写出为$$\mathcal{CM}od((x_1,\cdots ,x_n);a):=\{\begin{array}{l}\ast ,对于所有的1\le j\le n,都有x_j=a,\\ \varnothing ,其它情况;\end{array}$$
•	而当输出色为 $m$ 时, 运算应当表示交换代数 $a$ 在模 $m$ 上的作用, 因此只有在输入色中有且只有一个 $m$ 时才有意义, 具体写出为$$\mathcal{CM}od((x_1,\cdots ,x_n);m):=\{\begin{array}{l}\ast ,存在唯一的i使得x_j=m,对于j\ne i,x_j=a.\\ \varnothing ,其它情况;\end{array}$$
•	复合是显然的.

注意到有$$(\mathcal{CM}od{)}_a\simeq \mathcal{C}omm且(\mathcal{CM}od{)}_m\simeq \mathcal{T}riv.$$

我们当然也可以定义结合代数及其上的模, 不过此时模需要论及左右双模, 在此我们只给出左模的示意.

例 1.1.2.7 (左模算畴). 作为 $\mathcal{CM}od$ 的一种非交换版本, 左模算畴 ⁶$\mathcal{LM}od$ 是这样的有色算畴:

•	${\mathcal{LM}od}^{\simeq }:=\{a,m\}$;
•	当输出色为 $a$ 时, 运算应当表示结合代数结构, 即只有在所有的输入色均为 $a$ 时才有意义, 具体写出为$$\mathcal{LM}od((x_1,\cdots ,x_n);a):=\{\begin{array}{l}{\Sigma }_n,对于所有的1\le j\le n,都有x_j=a,\\ \varnothing ,其它情况;\end{array}$$
•	而当输出色为 $m$ 时, 运算应当表示结合代数 $a$ 在模 $m$ 上的作用, 令 $I_m:=\{i\in \{1,\cdots ,n\}:x_i=m\}$ 为输入模的指标集, $I_a:=\{i\in \{1,\cdots ,n\}:x_i=a\}$ 为输入代数的指标集, 则$$\mathcal{LM}od((x_1,\cdots ,x_n);m):=\{\begin{array}{l}{\Sigma }_{|I_a|},|I_m|=1.\\ \varnothing ,|I_m|\ne 1;\end{array}$$
•	复合是显然的.

不难发现有$$(\mathcal{LM}od{)}_a\simeq \mathcal{A}ssoc且(\mathcal{LM}od{)}_m\simeq \mathcal{T}riv$$

最后, 给出算畴代数的定义.

定义 1.1.2.8. 令 $\mathcal{C}$ 为对称幺半 $1$-范畴, 且 $\mathcal{O}$ 为有色算畴, 则 $\mathcal{C}$ 上的 $\mathcal{O}$-代数是指有色算畴间的态射 $\mathcal{O}\to {\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}$.

脚注

1.	^ 讲义中, ${\Sigma }_n$ 即指 $n$ 元对称群.
2.	^ 当然, 我们还有其它的尝试, 比如代数理论, 不过我们的讲义将不会涉及到这些内容.
3.	^ Cnossen 说灵感来自于 [Barkan and Steinebrunner, 2024, Section 1].
4.	^ 在有些文献中, 该算畴也被称为有色自同态算畴
5.	^ 交换模算畴是 “交换代数及其上的模算畴” 的缩写.
6.	^ 同上, 此处说的为结合代数与其上的左模对应的算畴.