赋值判别法

在代数几何中, 赋值判别法指的是用赋值环来判别映射性质的方法. 在刚性解析几何中亦有类似事物.

1命题

定义 1.1 (赋值判别法). 称概形态射 $f:X\to Y$ 满足赋值判别法的存在性、唯一性, 分别指的是, 对任意赋值环 $R$ 以及任意如下图表 (其中 $K$ 是 $R$ 的分式域, $\mathrm{Spec}K\to \mathrm{Spec}R$ 为自然映射), $$\mathrm{Spec}KX\mathrm{Spec}RYf$$虚线箭头存在、唯一.

注 1.2. 如 $X\to Y$ 满足赋值判别法某性质, 则不难发现其任意基变换也满足同样性质. 即赋值判别法所判定的性质自动对基变换封闭.

命题 1.3 (泛闭判别). $f:X\to Y$ 是概形的拟紧态射. 则其泛闭当且仅当其满足赋值判别法的存在性.

证明. 先证 “仅当”, 即已知 $f$ 泛闭, 验证赋值判别法存在性. 沿 $\mathrm{Spec}R\to Y$ 基变换, 不妨设 $Y=\mathrm{Spec}R$. 记 $\mathrm{Spec}K=\{\eta \}$, 并记 $\eta$ 在 $X$ 中像的闭包为 $Z$, 附带既约闭子概形结构. 由于验证的是存在性, 而复合一个闭浸入 $Z\hookrightarrow X$ 自然不改变泛闭, 故可不妨设 $X=Z$. 我们来到如下图表: $$\mathrm{Spec}KX\mathrm{Spec}Rf$$这里 $X$ 是整概形, 一般点是 $\eta$ 的像, $f$ 是闭映射, 要给 $f$ 找个截面. 由于 $K$ 是 $R$ 的分式域, 观察以上图表的分式域映射 $K\to K(X)\to K$, 这复合起来是 $\mathrm{id}$, 故 $X$ 的分式域也是 $K$. 将 $X$ 和 $\mathrm{Spec}R$ 的一般点也记作 $\eta$. 则图表本身首先说明 $\eta \in f(X)$. 由 $f$ 闭知 $f(X)$ 闭, 但 $\eta \in f(X)$ 是 $\mathrm{Spec}R$ 的一般点, 故 $f(X)=\mathrm{Spec}R$. 于是 $\mathrm{Spec}R$ 的闭点具有原像. 取其一个原像 $x\in X$, 给出局部环同态 $f_x:R\to {\mathcal{O}}_{X,x}$. 由以上交换图表, $f_x$ 诱导分式域同构; 即如把它们都看成 $K$ 的子环就有 $R\subseteq {\mathcal{O}}_{X,x}\subseteq K$. 而 $R$ 是赋值环! 于是 $R={\mathcal{O}}_{X,x}$, 截面就找到了.

再证 “当”, 即已知 $f$ 满足赋值判别法存在性, 验证泛闭. 由注 1.2, 只需证它闭. 取闭子概形 $Z\subseteq X$, 要证 $f(Z)$ 闭. 先证其在特殊化下封闭. 取 $Z\ni z\mapsto y\in Y$ 以及 $y⇝y^{\prime }$, 要找 $z⇝z^{\prime }\mapsto y^{\prime }$. 注意这里由 $Z\ni z⇝z^{\prime }$ 能自动得到 $z^{\prime }\in Z$. 这些映射自然给出环同态 ${\mathcal{O}}_{Y,y^{\prime }}\to k(y)\to k(z)$. 由赋值环的性质, 可取分式域为 $k(z)$ 的赋值环 $R$ 以及局部环同态 ${\mathcal{O}}_{Y,y^{\prime }}\to R$ 使得以上映射穿过它. 这些映射便给出一个赋值判别法中的交换图表. 由 $f$ 满足赋值判别法存在性, 虚线箭头存在, 那么 $\mathrm{Spec}R$ 的闭点在虚线箭头下的像 $z^{\prime }$ 便满足 $z⇝z^{\prime }\mapsto y^{\prime }$. 接下来由以下引理便得结论.

$\square$

引理 1.4. $f:X\to Y$ 是概形的拟紧态射, $Z\subseteq X$ 是闭子概形. 如 $f(Z)$ 在特殊化下封闭, 则它就是闭集.

证明. 复合闭浸入不改变拟紧, 故可设 $Z=X$. 闭性是局部的, 故可设 $Y=\mathrm{Spec}A$ 仿射. 于是 $X$ 拟紧, 设 $X={\bigcup }_{i=1}^n\mathrm{Spec}{B}_i$. 令 $B={\prod }_{i=1}^n{B}_i$, 考虑自然映射 $\mathrm{Spec}B={⨆}_{i=1}^n\mathrm{Spec}{B}_i\to X\to Y$. 它的像集自然和 $f$ 的一样, 故以 $\mathrm{Spec}B$ 换 $X$ 可设 $X=\mathrm{Spec}B$ 也仿射.

现在来到环论问题: $A\to B$ 是环同态, 谱上的像集在特殊化下封闭, 要证明此像集闭. 任取 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$ 在像集之外. 像集在特殊化下封闭, 故其补集在一般化下封闭, 也就是说 $\mathrm{Spec}{A}_{\mathfrak{p}}$ 都在像集之外, 即 $B{\otimes }_A{A}_{\mathfrak{p}}=0$. 而 $A_{\mathfrak{p}}={\mathrm{colim}}_{a\notin \mathfrak{p}}{A}_a$, 故存在 $a\notin \mathfrak{p}$ 使得 $B{\otimes }_A{A}_a=0$, 即开集 $D(a)\ni \mathfrak{p}$ 都在像集之外. 像集外每个点都有开邻域在像集外, 故像集闭.

$\square$

命题 1.5 (分离判别). $f:X\to Y$ 是概形的拟分离态射. 则其分离当且仅当其满足赋值判别法的唯一性.

证明. 注意 $f$ 满足赋值判别法的唯一性当且仅当其对角线 ${\Delta }_f:X\to X{\times }_{Y}X$ 满足赋值判别法的存在性. 由此, 用拟分离、分离的定义以及泛闭的赋值判别法, 立得结论.

$\square$

于是由紧合的定义可得

推论 1.6 (紧合判别). $f:X\to Y$ 是概形态射, 有限型、拟分离. 则其紧合当且仅当其满足赋值判别法的存在唯一性.

2例子与评注

例 2.1 (射影空间). 最典型的紧合态射无非是射影空间 ${\mathbf{P}}_{\mathbb{Z}}^n\to \mathrm{Spec}\mathbb{Z}$. 直接用定义证明它紧合十分麻烦, 但用赋值判别法就十分简单. 这里需要证明图表$$\mathrm{Spec}K{\mathbf{P}}_{\mathbb{Z}}^n\mathrm{Spec}R\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$$的虚线箭头存在唯一. 展开射影空间的定义, 不难发现上方的箭头相当于一个齐次坐标 $[a_0,\dots ,a_n]$, 即 $a_0,\dots ,a_n$ 不全为 $0$; 差一个倍数的是同一个映射. 而由于 $R$ 是局部环, 不难发现虚线箭头也相当于齐次坐标 $[b_0,\dots ,b_n]$, 满足 $b_0,\dots ,b_n$ 中有可逆元; 仍然, 差一个可逆元倍数的是同一个映射. 这样存在唯一性就是显然的: $[b_0,\dots ,b_n]$ 必须是 $[a_0,\dots ,a_n]$ 各坐标同除以赋值最小的坐标所得.

注 2.2. 泛闭的赋值判别法, 本质是上面的引理 1.4, 以及赋值环足以探测特殊化. 分离的就是对对角线使用泛闭的.

注 2.3. 事实上分离推出拟分离, 所以赋值判别法可陈述为 “分离当且仅当拟分离且满足赋值判别法唯一性”, 泛闭也类似. 但泛闭推出拟紧这一事实证明麻烦而又意义不大, 故通常不这么陈述.

3相关概念

•	赋值环
•	泛闭态射
•	分离态射
•	紧合态射

术语翻译

赋值判别法 • 英文 valuative criterion • 法文 critère valuatif