赋值环

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

交换代数中, 赋值环指任两个元素都有整除关系的整环. 其名称来源于赋值的概念.

1定义

定义 1.1 (赋值环). $R$ 是整环, $K$ 是其分式域. 以下几条等价:

1.	对任意 $x\in K^{\times }$, $x$ 和 $x^{-1}$ 中至少有一个在 $R$ 中.
2.	$R$ 的任两个理想都有包含关系.
3.	$R$ 的任两个元素都有整除关系, 换言之其任两个主理想都有包含关系.
4.	存在全序交换群 $\Gamma$ 以及赋值 $v:K\to \Gamma \cup \{\infty \}$, 使得 $R$ 是此赋值的赋值环, 即 $R=\{x\in K\mid v(x)\ge 0\}$.

如 $R$ 满足这些等价条件, 则称其为赋值环, 也称其为 $K$ 的一个赋值环. 条件 4 中的 $\Gamma$ 称为其值群.

这里的等价都是容易的, 比如 1 推 2 是因为如有理想 $I,J$ 互不包含, 则取 $i\in I\setminus J$, $j\in J\setminus I$, 就有 $i/j$ 和 $j/i$ 都不在 $R$ 中.

由 2 可以看出赋值环都是局部环, 然后由 1 可以看出 $R$ 的极大理想恰由 $0$ 与 $K\setminus R$ 中元素的逆组成. 由 3 可以看出赋值环的有限生成理想都是主理想.

2例子

•	域都是赋值环.
•	域上一元形式幂级数环 $k[[X]]$ 是赋值环. 其分式域为 Laurent 级数域 $k((X))$, 值群为 $\mathbb{Z}$, 赋值 $v(f)$ 为 $f$ 的最低次项系数.
•	$p$ 进整数环 ${\mathbb{Z}}_p$ 是赋值环. 其分式域为 ${\mathbb{Q}}_p$, 赋值 $v_p(n)$ 为 $n$ 中含 $p$ 的次数.
•	一般地, 一维正则局部环都是赋值环. 见离散赋值环.
•	设 $K$ 是序域. 考虑 $R=\{x\in K\mid \exists n\in \mathbb{N},-n<x<n\}$, 则 $R$ 是赋值环. 事实上 $R$ 的子集 $\{x\in K\mid -1\le x\le 1\}$ 已经满足 $K$ 中任一元素与其逆至少一个属之; 只是它并不是环, $R$ 才是环.
•	二元形式幂级数环 $k[[X,Y]]$ 不是赋值环, 因为 $X/Y$ 与 $Y/X$ 都不在其中.

3性质

赋值环的条件等价于其在分式域中的一种极大性:

命题 3.1. 固定域 $K$. 考虑其所有局部子环之集, 赋予偏序 $(R,{\mathfrak{m}}_R)\le (S,{\mathfrak{m}}_S)$ 当且仅当 $R\subseteq S$ 且 ${\mathfrak{m}}_R\subseteq {\mathfrak{m}}_S$, 即要求含入映射是局部同态. 那么 $K$ 的赋值环恰是该偏序集的极大元.

证明. 首先设 $R$ 是 $K$ 的一个赋值环, 证明它极大. 反证法, 如 $R<S$, 取 $x\in S\setminus R$. 由于 $x\notin R$, 有 $x^{-1}\in {\mathfrak{m}}_R$, 而 ${\mathfrak{m}}_R\subseteq {\mathfrak{m}}_S$, 于是 $x^{-1}\in {\mathfrak{m}}_S$, 极大理想里出现可逆元, 矛盾. 故 $R$ 极大.

其次对极大元 $(R,\mathfrak{m})$ 证明它是赋值环. 反证法, 设有 $x\in K^{\times }$, $x,x^{-1}$ 都不属于 $R$. 由极大性, 子环 $R[x]\subseteq K$ 的每个素理想都不能包含 $\mathfrak{m}$, 否则对其局部化, 将出现大于 $R$ 的子环. 换言之, $\mathfrak{m}R[x]=R[x]$. 同样地, $\mathfrak{m}R[x^{-1}]=R[x^{-1}]$. 于是写出等式$$1=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n,a_0,\dots ,a_n\in \mathfrak{m};$$$$1=b_0+b_1{x}^{-1}+\cdots +b_m{x}^{-m},b_0,\dots ,b_m\in \mathfrak{m};$$不妨设这是此种等式中 $n+m$ 最小者, 并设 $n\ge m$. 将后一个等式乘以 $x^n$ 得$$(1-b_0)x^n=b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_m{x}^{n-m};$$由于 $b_0\in \mathfrak{m}$, $1-b_0\in R^{\times }$, 可两边除以 $1-b_0$ 得$$x^n=c_1{x}^{n-1}+\cdots +c_m{x}^{n-m};$$把此式代入 $1=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$ 中便可把 $n$ 变小, 矛盾! 故 $R$ 是赋值环.

$\square$

推论 3.2. 设 $A$ 是环, $\mathfrak{p}$ 是其一个素理想, $K$ 是域, $f:A\to K$ 是环同态. 则 $K$ 有包含 $f(A)$ 的赋值环 $R$ 满足 $f^{-1}({\mathfrak{m}}_R)=\mathfrak{p}$. 特别地, $(A,\mathfrak{p})$ 是局部环时, 这相当于说任一环同态 $f:A\to K$ 都穿过一个到赋值环的局部同态.

证明. 考虑命题所述偏序集中大于等于局部环 $f(A_{\mathfrak{p}})$ 的极大元. 由 Zorn 引理不难发现其存在. 此即所求.

$\square$

以上命题与推论在赋值判别法的证明中用到.

4相关概念

•	赋值
•	赋值判别法

术语翻译

赋值环 • 英文 valuation ring • 德文 Bewertungsring (m) • 法文 anneau de valuation (m)