辛同胚

在辛几何中, 辛同胚是指辛流形间保持辛结构的微分同胚.

1定义

定义 1.1. 设 $(M_i,{\omega }_i)$ 为辛流形 ($i=1,2$). 称微分同胚 $F:M_1\to M_2$ 为辛同胚, 如果它保持辛结构, 即 $F^{\ast }{\omega }_2={\omega }_1$.

另外, 一族光滑同痕 $({\psi }_t:M\to M{)}_{t\in [0,1]}$ 称为辛同痕, 是指每个 ${\psi }_t$ 都是辛同胚.

2性质

Moser 同痕

Moser 同痕是构造辛同胚 (同痕) 的一个重要手段.

引理 2.1. 设 $M$ 为光滑流形, ${\omega }_t$ 为 $M$ 上光滑的一族辛形式 ($t\in [0,1]$), 满足$$\frac{d}{dt}{\omega }_t=d{\sigma }_t$$对于一族光滑的 ${\sigma }_t\in {\Omega }^1(M)$ 成立, 则存在辛同痕 ${\psi }_t:M\to M$ 使得 ${\psi }_0={\psi }_t^{\ast }{\omega }_t$.

证明. 注意到$$\frac{d}{dt}{\psi }_t^{\ast }{\omega }_t={\psi }_t^{\ast }\left(\frac{d}{dt}{\omega }_t+{\mathcal{L}}_{X_t}{\omega }_t\right),$$再使用 Cartan 公式和非退化性取出 $X_t$ 即可. 可以看出, 这个手段只依赖于闭和非退化性, 并不一定需要辛形式, 例如 ${\omega }_t$ 为一族体积形式也是可以的.

$\square$

作为一个直接的推论, 有以下结果

推论 2.2. 设 $M_i$ 为闭流形, $d{V}_i$ 为体积形式, 并且满足$${\int }_{M_1}d{V}_1={\int }_{M_2}d{V}_2,$$即体积相等, 则存在保体积同胚 $F:M_1\to M_2$, 即$$F^{\ast }d{V}_2=d{V}_1.$$

推广这个结果, 可以得到称为 Moser 同痕的手段:

定理 2.3 (Moser 同痕). 设 $M$ 为光滑流形, $Q\subset M$ 为紧子流形, ${\omega }_1,{\omega }_2\in {\Omega }^2(M)$ 为闭的 $2$-形式, 它们在 $Q$ 上相等并且对所有 $q\in Q$ 它们在 $T_{q}M$ 上非退化, 则存在 $Q$ 的邻域 ${\mathcal{N}}_1,{\mathcal{N}}_2$ 以及微分同胚 $\psi :{\mathcal{N}}_1\to {\mathcal{N}}_2$ 使得$$\psi {|}_Q=\mathrm{id},{\omega }_1={\psi }^{\ast }{\omega }_2.$$

这个定理会在处理各种 “辛邻域” 相关的结论时起到很大的作用 (例如 Darboux 定理) .

不可压缩定理

3相关概念

术语翻译

辛同胚 • 英文 symplectomorphism