Lagrange 子流形

此页面尚不符合香蕉空间的百科写作风格, 并需要改进. 请编辑者参照已有的与之内容相近的条目, 以及香蕉空间:写作指引的要求, 对此页面进行修改. 具体问题如下:

• 应于每小节开头概述其内容.

在辛几何中, Lagrange 子流形是辛流形的一类特殊的子流形, 其维数恰为原来辛流形的一半, 且辛形式在该子流形上的限制为 $0$. Lagrange 子流形也是满足后一条件的子流形中维数最大的.

例如, 考虑 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^{2n}$, 记 $(p^1,\dots ,p^n,q_1,\dots ,q_n)$ 为其坐标, 并考虑辛形式 $\omega ={\sum }_{i}d{p}^i\wedge d{q}_i$. 则形如 ${\mathbb{R}}^n\times \{(q_1,\dots ,q_n)\}\subset {\mathbb{R}}^{2n}$ 的子流形都是 Lagrange 子流形. 并且, 一般辛流形中的 Lagrange 子流形在局部上皆有如此形式, 这是 Darboux 定理的推论.

1定义

定义 1.1. 设 $(X,\omega )$ 为 $2n$ 维辛流形. 称子流形 $i:L\hookrightarrow X$ 为 Lagrange 子流形, 若满足以下等价条件之一:

•	每点 $x\in L$ 处切空间 ${\mathrm{T}}_{x}L\subset {\mathrm{T}}_{x}X$ 都是 Lagrange 子空间.

•	$\dim L=n$, 并且 $L$ 是迷向子流形, 即满足 $i^{\ast }\omega =0$.

Lagrange 子流形也是维数极大的迷向子流形.

2例子

余切丛的零截面

对任意光滑流形 $L$, 在其余切丛上取典范辛形式 $(M,-d\lambda )$, 则零截面 $L_0\subset T^{\ast }L$ 是一个 Lagrange 子流形. 事实上, 下方的 Lagrange 邻域定理告诉我们, 反过来讲每一个 Lagrange 子流形在某个邻域上都可以被看成余切丛的零截面.

实射影空间

取复射影空间上的 Fubini–Study 形式 $(\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n,{\omega }_{\mathrm{FS}})$. 有一个实射影空间的自然嵌入$$\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n=\{[z_0,\dots ,z_n]:z_i\in \mathbb{R}\}\subset \mathbb{C}{\mathrm{P}}^n.$$令 $\pi :{\mathbb{C}}^{n+1}-\{0\}\to \mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$ 为商映射, 下列图表交换$${\mathbb{R}}^{n+1}-\{0\}{\mathbb{C}}^{n+1}-\{0\}\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n\pi \pi$$由于 ${\rho }_{\mathrm{FS}}$ 限制在 $T({\mathbb{R}}^{n+1}-\{0\})$ 上为 $0$, 而 ${\rho }_{\mathrm{FS}}={\pi }^{\ast }{\omega }_{\mathrm{FS}}$, 于是 ${\omega }_{\mathrm{FS}}$ 限制在 $T\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n$ 上为 $0$, 这是一个 Lagrange 子流形.

Clifford 环面

仍然记 $\pi :{\mathbb{C}}^{n+1}-\{0\}\to \mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$ 为商映射, 取环面 $T^{n+1}\subset {\mathbb{C}}^{n+1}-\{0\}$, 类似于上方的讨论, 它的像 $\pi (T^n)\subset \mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$ 也是 Lagrange 子流形 (仍然取 Fubini–Study 形式) .

3性质

Lagrange 邻域

上方的例子中, 余切丛的零截面是结构非常简单又自然的, 而且余切丛上的辛形式还是恰当的, 那么如果能将问题转化到余切丛上, 相关的讨论就会容易许多. 类似于 Darboux 定理, 对于 Lagrange 子流形, 它的邻域也有一个典范的用余切丛的描述.

设 $L\subset (M,\omega )$ 是紧的 Lagrange 子流形, 构造邻域的一个好办法是找出管状邻域, 而相容近复结构又可以给出自然的 Riemann 度量. 于是取 $J$ 为 $M$ 上的相容近复结构, $g$ 为诱导的 Riemann 度量. 重要的观察是$$g(v,Ju)=\omega (v,J^{2}u)=\omega (u,v)=0,u,v\in T_{p}L,$$于是法丛 $\nu L=JTL$. 另一方面, $g$ 又可以给出丛同构$$\Phi :T^{\ast }M\to TM,g(\Phi (\theta ),X)=\theta (X),$$则可以考虑管状邻域$${\theta }_p\mapsto {\exp }_p(J_p{\Phi }_p({\theta }_p)).$$验证条件使用 Moser 同痕, 有以下结果:

定理 3.1. 设 $L\subset (M,\omega )$ 为紧 Lagrange 子流形, $L_0\subset T^{\ast }L$ 为零截面, 则存在 $L$ 的邻域 $\mathcal{N}(L)$, $L_0$ 的邻域 $\mathcal{N}(L_0)$ 以及辛同胚$$\psi :\mathcal{N}(L)\to \mathcal{N}(L_0),$$其中 $T^{\ast }L$ 上取典范辛形式 $-d\lambda$.

恰当 Lagrange 嵌入

在恰当辛流形上, 辛形式可以对 Lagrange 子流形做出进一步限制, 这让它能够被一个 “生成函数” 所描述.

考虑更为特殊的情况, 设有恰当辛流形 $(M,-d\lambda )$, 一个 Lagrange 嵌入 $\iota :L\hookrightarrow M$ 称作 $\lambda$-恰当的, 如果$${\iota }^{\ast }\lambda =dS$$是恰当形式, 此时函数 $S$ 称作它的 $\lambda$-生成函数.

注 3.2. 虽然恰当辛流形的辛形式是确定的, 但是它被表示为 $-d\lambda$ 的形式是不唯一的, 因此 Lagrange 嵌入关于某个 $\lambda$ 恰当并不能说明它关于所有这样的 $\lambda$ 都恰当.

一个典型的恰当 Lagrange 嵌入的例子如下. 对于微分同胚 $\psi :M\to M$, 可以考虑其图像$${gr}_{\psi }:M\to M\times M,p\mapsto (p,\psi (p)).$$当 $M$ 上配备辛形式 $\omega$ 时, $M\times M$ 上有自然的辛形式 $(-\omega )\oplus \omega$. 于是按照定义, $\psi$ 是辛同胚当且仅当 ${gr}_{\psi }$ 是 Lagrange 嵌入. 特别地, 如果 $\omega =-\lambda$ 恰当, 则可以找到 $\alpha \in {\Omega }^1(M\times M)$ 使得$$\alpha {|}_{\Delta }=0,(-\omega )\oplus \omega =-d\alpha .$$一个自然的想法即 Hamilton 同胚的图像是否恰当?

引理 3.3. 设 $(M,-d\lambda )$ 为恰当辛流形, 则 ${\psi }_t:M\to M$ 是 Hamilton 同痕当且仅当存在光滑的一族 $F_t$ 使得$${\psi }_t^{\ast }\lambda -\lambda =d{F}_t.$$特别地, 如果 ${\psi }_t$ 为 Hamilton 向量场 $X_t$ 生成的流, $H_t$ 为对应的含时 Hamilton 函数, 则可以取$$F_t={\int }_0^t(\lambda (X_s)+H_s)\circ {\psi }_{s}ds.$$

推论 3.4. 如果 $\iota :L\hookrightarrow M$ 是恰当 Lagrange 嵌入, 则对任意 Hamilton 同胚 $\psi :M\to M$, $\psi \circ \iota$ 也是恰当 Lagrange 嵌入, 特别地, ${gr}_{\psi }$ 是恰当的.

证明. 直接计算$$(\psi \circ \iota {)}^{\ast }\lambda ={\iota }^{\ast }({\psi }^{\ast }\lambda -\lambda )+{\iota }^{\ast }\lambda ={\iota }^{\ast }dF+dS=d(F\circ \iota +S).$$特别地, Hamilton 同胚的图像可以表示为对角线映射与第二个分量上同胚的复合, 由定义, 这是一个恰当 Lagrange 嵌入和一个 Hamilton 同胚的复合, 因而也是恰当的.

$\square$

在一般的情况下, 即使 $(M,\omega )$ 不是恰当的, 由 Lagrange 邻域定理, 对于离 $L$ 充分近 (因为在充分近的邻域上可以写为余切丛上的典范辛形式, 这是恰当的) 的 Hamilton 同胚, 仍然可以用上方的方式进行讨论.

4Lagrange 相交理论

Floer 同调

Donaldson 范畴与 Fukaya 范畴

5相关概念

•	Lagrange 对应
•	移位 Lagrange 对应

术语翻译

Lagrange 子流形 • 英文 Lagrangian submanifold