Poisson 流形

在微分几何中, Poisson 流形是辛流形的推广, 是指带有 Poisson 括号结构的光滑流形.

Poisson 流形具有形变量子化. 形变量子化是一种由经典力学系统构造其对应的量子力学系统的过程, 由 Poisson 流形的光滑函数构成的交换代数出发, 构造其非交换的形变. 这对应量子力学中量子可观测量的代数, 其交换子由 Poisson 括号给出.

1定义

由 Poisson 括号

对光滑流形 $X$, 记 $C^{\infty }(X)$ 为 $X$ 上光滑函数构成的 $\mathbb{R}$-代数.

定义 1.1. Poisson 流形是指二元组 $(X,\{-,-\})$, 其中

•	$X$ 是光滑流形.

•	$\{-,-\}:C^{\infty }(X)\otimes C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)$ 是 $\mathbb{R}$-双线性映射, 称为 Poisson 括号.

并满足以下条件:

•	$(C^{\infty }(X),\{-,-\})$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 Lie 代数. 换言之, Poisson 括号反对称, 且满足 Jacobi 恒等式: $$\begin{array}{c}\{f,g\}=-\{g,f\},\\ \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0.\end{array}$$

•	对任何 $f\in C^{\infty }(X)$, 映射 $\{f,-\}:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)$ 是 $C^{\infty }(X)$ 上的导子. 换言之, Poisson 括号满足 Leibniz 法则: $$\{f,gh\}=g\{f,h\}+\{f,g\}h.$$

由 Poisson 双向量场

给定光滑流形 $X$, 则 $X$ 上的 Poisson 结构等价于 $X$ 上的光滑双向量场 $P\in \Gamma ({\wedge }^2(\mathrm{T}X))$, 即反对称 $(0,2)$-张量场, 称为 Poisson 双向量场, 满足$$[P,P]=0,$$其中 $[-,-]$ 是 Schouten–Nijenhuis 括号.

给定这样的双向量场 $P$, 则其对应的 Poisson 括号由$$\{f,g\}=P(df,dg)$$给出. 反过来, 任何 Poisson 括号都由这样的双向量场给出. 这里, Poisson 括号的 Jacobi 恒等式对应于 Poisson 双向量场满足 $[P,P]=0$ 的条件.

2例子

•	对任何光滑流形 $X$, 令 $\{-,-\}=0$, 则 $(X,\{-,-\})$ 是 Poisson 流形.

•	辛流形都是 Poisson 流形. 对辛流形 $(X,\omega )$, 其 Poisson 括号定义为$$\{f,g\}=\omega (H_f,H_g),$$其中 $H_f$ 和 $H_g$ 是 $f$、$g$ 的 Hamilton 向量场.

3相关概念

术语翻译

Poisson 流形 • 英文 Poisson manifold • 德文 Poisson-Mannigfaltigkeit (f) • 法文 variété de Poisson (f)