Hamilton 向量场

在辛几何中, Hamilton 向量场是辛流形上的一类向量场. 沿 Hamilton 向量场的流总是保持流形的辛结构, 从而构成一族辛同胚.

Hamilton 向量场的概念起源于经典力学. 力学系统的相空间通常是辛流形; 若假定系统的 Hamilton 量不随时间改变, 则它是该流形上的光滑函数. 此时, Hamilton 向量场给出了系统时间演化的方向. 换言之, Hamilton 向量场的积分曲线给出系统运动方程的解.

1定义

定义 1.1. 设 $(M,\omega )$ 是辛流形. 称 $M$ 上的光滑向量场 $X$ 为 Hamilton 向量场, 是指满足以下条件:

•	存在 $M$ 上的光滑函数 $f:M\to \mathbb{R}$, 称为 $X$ 对应的 Hamilton 量, 使得微分形式的缩并 $i_X\omega =df$.

此时, $f$ 在相差一个局部常值函数的意义下由 $X$ 唯一确定. 注意, 有的文献称 $-f$ 而非 $f$ 为 $X$ 对应的 Hamilton 量.

上述条件也可等价表述为: 对 $M$ 上任何光滑向量场 $Y$, 有$$\omega (X,Y)=df(Y).$$

反过来, 给定辛流形上的光滑函数作为 Hamilton 量, 也一定能找到其对应的 Hamilton 向量场.

定义 1.2. 设 $(M,\omega )$ 是辛流形, $f:M\to \mathbb{R}$ 是光滑函数. 考虑辛形式 $\omega$ 诱导的光滑向量丛的同构 $\omega :\mathrm{T}M\simeq {\mathrm{T}}^{\ast }M$, 并记 ${\omega }^{-1}$ 为其逆. 定义 $M$ 上的光滑向量场$$X_f={\omega }^{-1}(df).$$则 $X_f$ 称为 $f$ 对应的 Hamilton 向量场. 由构造, $f$ 是 $X_f$ 的 Hamilton 量.

2性质

坐标表示

在辛流形 $(M,\omega )$ 上, 由 Darboux 定理选取局部辛坐标 $p^i,q^i$, 使得辛形式坐标表示为 $\omega ={\sum }_{i}d{p}^i\wedge d{q}^i$. 则光滑函数 $f:M\to \mathbb{R}$ 对应的 Hamilton 向量场的坐标表示为$$X_f=\sum _i\frac{\partial f}{\partial q^i}\frac{\partial }{\partial p^i}-\sum _i\frac{\partial f}{\partial p^i}\frac{\partial }{\partial q^i}.$$直接验证可知 $i_{X_f}\omega =df$.

3相关概念

术语翻译

Hamilton 向量场 • 英文 Hamiltonian vector field