Bochner 积分

Bochner 积分是 Lebesgue 积分的推广, 由 Salomon Bochner 引入, 可以对取值于 Banach 空间的函数定义积分. 例如, 在处理演化方程, 如 Schrödinger 方程、波方程时, Duhamel 公式的非齐次项会自然出现向量值的积分.

1定义

设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是完备的 $\sigma$-有限测度空间, $(B,\Vert \cdot \Vert )$ 是 Banach 空间, 配备拓扑诱导的 Borel 代数. 设 $f:X\to B$ 是可测映射.

首先, 对简单函数, 即示性函数的有限和$$f=\sum _{i=1}^N{1}_{E_i}{b}_i$$定义 Bochner 积分如下$${\int }_{X}f(x)d\mu :=\sum _{i=1}^N\mu (E_i)b_i.$$

定义 1.1. 可测函数 $f:X\to B$ 称为 Bochner 可积的, 若存在一列简单函数 $\{f_n\}$, 使得$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X\Vert f-f_n\Vert d\mu =0.$$

对 Bochner 可积的函数, 定义其 Bochner 积分为$${\int }_{X}fd\mu :=\underset{n}{\lim }{\int }_X{f}_n(x)d\mu .$$

模去几乎处处为消失的函数, 我们记 Bochner 可积的函数空间为 $L^1(X,B)$.

2性质

容易看出 Bochner 积分是良好定义的, 满足线性、三角不等式等基本性质. 进一步, 两个几乎处处相等的函数的 Bochner 积分相同.

可积性的刻画

定理 2.1 (Bochner 准则). 可测函数 $f:X\to B$ 是 Bochner 可积的, 当且仅当可以在零测集上修改 $f$ , 使其值域是可分的, 且$${\int }_X\Vert f\Vert d\mu <\infty .$$

证明. 假设 $f$ 是 Bochner 可积的, 则存在简单函数 $f_n$ 使得 $\int \Vert f-f_n\Vert d\mu \to 0$. 因此 $f_n$ 几乎处处收敛到 $f$. 而所有 $f_n$ 值域的并集是可数集, 故可以在零测集上调整 $f$ 使其值域可分.

另一方面, 假设 $f$ 的值域可分, 且 $\Vert f\Vert \in L^1(X)$. 取 $\{e_i{\}}_{i\ge 0}$ 在 $\mathrm{Im}f$ 中稠密. 对 $ϵ>0$, 构造 $X$ 的一个分划: $$E_1=f^{-1}(B(e_1,ϵ)),E_i=f^{-1}(B(e_i,ϵ))-\bigcup _{j=1}^{i-1}{E}_j$$则可测函数 $f_{ϵ}={\sum }_{i=1}^{\infty }{1}_{E_i}{e}_i$ 满足 $\Vert f_{ϵ}-f{\Vert }_{\infty }<ϵ$. 取简单函数 $f_{ϵ,N}$ 为级数 $f_{ϵ}$ 的前 $N$ 项之和. 则 $f_{ϵ,N}\uparrow f_{ϵ}$ 逐点成立.

存在有限可测集 $X_n\uparrow X$. 由 Egorov 定理, 存在 $C_n\subset X_n$ 测度小于 $2^{-n}$, 使得 $\{f_{1/n,N}{\}}_N$ 在 $X_n-C_n$ 上一致收敛到 $f_{1/n}$. 取 $N_n$ 使得$$\underset{X_n-C_n}{\sup }|f_{1/n,N_n}-f_{1/n}|<\frac{1}{n}.$$令 $F=\{C_n\text{出现无限次}\}$, 则 $F$ 是零测集, 且简单函数 $g_n=f_{1/n,N_n}$ 在 $F$ 外趋向于 $f$.

再取非负的简单函数 $s_n\uparrow \Vert f\Vert$. 考虑简单函数$$f_n=s_n\frac{g_n}{\Vert g_n\Vert +1/n}$$则 $f_n$ 几乎处处收敛到 $f$, $\Vert f-f_n\Vert \le 2\Vert f\Vert$. 由 Lebesgue 控制收敛知 $f$ Bochner 可积.

$\square$

定义 2.2. 可测函数 $f:X\to B$ 称为 Bochner 可测的, 若存在简单函数列 $f_n$ 几乎处处收敛到 $f$.

从上述证明可以看出, Bochner 可积性等价于 Bochner 可测与范数可积. 我们还有如下推论:

推论 2.3. 映射 $f:X\to B$ 是 Bochner 可测的当且仅当 $f$ 可测, 且在差零测集的意义下值域可分.

控制收敛

设 $f_n\in L^1(X,B)$ 几乎处处收敛到 $f$. 由 Bochner 准则和 Fatou 不等式知 $f$ 也 Bochner 可积. 类比 Lebesgue 控制收敛定理, 我们有

命题 2.4. 假设存在非负可积函数 $F$, 使得 $\Vert f_n\Vert \le F$ 几乎处处成立. 我们有$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X\Vert f_n-f\Vert d\mu =0.$$特别的, $${\int }_X{f}_{n}d\mu \stackrel{B}{⟶}{\int }_{X}fd\mu .$$

线性算子

设 $\Lambda :B_1\to B_2$ 是 Banach 空间之间的有界线性映射.

命题 2.5. 对 $f\in L^1(X,B_1)$, 有 $\Lambda f\in L^1(X,B_2)$, 且$$\Lambda \left({\int }_{X}fd\mu \right)={\int }_X\Lambda fd\mu$$

3其它定义方式

Riemann 和

设 $I\subset \mathbb{R}$ 是有界闭区间, $f:I\to B$ 是连续函数. 我们可以用 Riemann 和的方式定义 ${\int }_{I}fd\mu$.

利用一致连续性, 可以证明此时 $f$ 是 Bochner 可积的, 且 Bochner 积分与 Riemann 积分一致.

对偶空间

假设 $f:X\to B$ 可测, 且 $\Vert f\Vert \in L^1(X)$. 则对 $B$ 上的有界线性泛函 $\Lambda$, $\Lambda f$ 是可积函数, 且$$I:\Lambda \mapsto {\int }_X\Lambda fd\mu$$给出 $B^{\ast }$ 上的有界线性泛函, 即 $B^{\ast \ast }$ 中的元素. 若 $I$ 落在嵌入 $B\hookrightarrow B^{\ast \ast }$ 的像中, 则 $I\in B$ 给出了命题 2.3 意义下的积分.

注 3.1. 当 $B$ 是自反空间时, 该意义下的积分一定可定义.

注 3.2. 当 $B$ 可分时, 由 Bochner 准则, $f$ Bochner 可积, 此时 $I$ 一定落在 $B$ 中且恰好为 $f$ 的 Bochner 积分.

术语翻译

Bochner 积分 • 英文 Bochner integral • 德文 Bochner-Integral • 法文 intégrale de Bochner