连续映射

连续映射 (或连续函数) 是一类映射, 当其自变量小幅变化时, 其取值也只是小幅变化, 而不会跳跃.

在数学分析中, 连续映射常常用 $\epsilon$-$\delta$ 语言描述, 即对任意给定 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 使得自变量的变动不超过 $\delta$ 时, 映射值的变动不超过 $\epsilon$.

对于拓扑空间之间的映射而言, 连续映射恰好是那些使开集的原像仍为开集的映射.

1定义

通过 $\epsilon$-$\delta$ 语言

定义 1.1 (连续映射). 设 $X,Y$ 是度量空间, 设 $x\in X$ 为一点. 集合间映射 $f:X\to Y$ 称为在 $x$ 处连续, 若对任意 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 使得对任意 $x^{\prime }\in X$, 当 $d(x,x^{\prime })<\delta$ 时, 总有 $d(f(x),f(x^{\prime }))<\epsilon$.

上述映射 $f$ 称为连续映射, 若它在 $X$ 的每个点处都连续.

定义 1.2 (连续函数). 当上述集合 $Y$ 取为某种 “数”, 尤其是带有通常度量的实数和复数时, 此映射称为连续函数.

对拓扑空间

定义 1.3 (连续映射). 设 $X,Y$ 是拓扑空间, 设 $x\in X$ 为一点. 集合间映射 $f:X\to Y$ 称为在 $x$ 处连续, 若对 $f(x)$ 的任意邻域 $U\subset Y$, 其原像 $f^{-1}(U)\subset X$ 是 $x$ 的邻域.

上述映射 $f$ 称为连续映射, 若 $Y$ 的每个开集的原像都是 $X$ 的开集. 这等价于它在 $X$ 的每个点处都连续.

定义 1.4 (连续函数). 当上述集合 $Y$ 取为某种 “数”, 尤其是带有通常拓扑的实数和复数时, 此映射称为连续函数.

2性质

命题 2.1. 对拓扑空间映射 $f:X\to Y$, $f$ 在 $x$ 处连续当且仅当对任何网 $x_{\alpha }\to x$, 都有 $f(x_{\alpha })\to f(x)$. 若 $X$ 第一可数, 则网也可以改为点列.

3相关概念

•	一致连续映射
•	等度连续映射族
•	光滑映射、解析映射、全纯映射

术语翻译

连续映射 • 英文 continuous map • 德文 stetige Abbildung • 法文 application continue • 拉丁文 applicatio continua • 古希腊文 συνεχὴς ἀπεικονισμός • 日文 連続写像

连续函数 • 英文 continuous function • 德文 stetige Funktion • 法文 fonction continue • 拉丁文 functio continua • 古希腊文 συνεχὴς συνάρτησις • 日文 連続関数

连续 (形容词) • 英文 continuous • 德文 stetig • 法文 continu • 拉丁文 continuus • 古希腊文 συνεχής • 日文 連続

连续性 • 英文 continuity • 德文 Stetigkeit (f) • 法文 continuité (f) • 拉丁文 continuitas (f) • 古希腊文 συνέχεια (f)