Iwasawa 主猜想

Iwasawa 主猜想, 一般是指 $\mathbb{Q}$ 上的 Iwasawa 主猜想, 给出了 $p$ 进 $L$ 函数和 ${\mathbb{Z}}_p$-扩张的理想类群塔之间的联系:

$p$ 进解析函数 $\approx$ $p$ 进代数函数.

而更广义的 Iwasawa 主猜想, 则是 $\mathbb{Q}$ 上的 Iwasawa 主猜想到全实域, CM 域, 椭圆曲线等上面的推广.

1动机

Iwasawa 主猜想是 Iwasawa 在 1969 年通过函数域类比, 以及代数曲线的 Weil 猜想得到的.

有限域上代数曲线的 Weil 猜想本质上就是:

Frobenius 在曲线的 Jacobi 簇作用的特征多项式 $=$ Hasse–Weil $\zeta$ 函数.

数域和代数曲线的类比为:

•	Frobenius 作用对应于 $\Lambda$-作用;
•	Jacobi 簇对应于理想类群给出的对象 (之后会看到它是 $X_{\infty }$);
•	Hasse–Weil $\zeta$ 函数对应于 $p$ 进 Kubota–Leopoldt $\zeta$ 函数.

由此对应, Iwasawa 就给出了下一节的陈述.

2陈述

假设 $p$ 是一个奇素数. 给定如下的信息:

•	$\omega$ 是 ${\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)}^{\times }$ 上的 Teichmüller 特征;
•	$X_{\infty }:=\lim A_n$, 其中 $A_n$ 是 $\mathbb{Q}({\mu }_{p^n})$ 的理想类群的 $p$-部分;
•	$\gamma$ 是 ${\mathbb{Z}}_p$ 的一个拓扑生成元, 通过 $p$ 进 $L$ 函数的理论确定了 Iwasawa 形式幂级数 $f_{{\omega }^k}$. 当 ${\omega }^k$ 非平凡时, $f_{{\omega }^k}$ 在 ${\mathbb{Z}}_p[[T]]$ 中;
•	$\Lambda :={\mathbb{Z}}_p[[T]]$ 是 Iwasawa 代数, 需注意 $X_{\infty }$ 有自然的 ${\mathbb{Z}}_p[[{\mathbb{Z}}_p^{\times }]]$-作用, 从而有特征空间分解$$X_{\infty }=\underset{i=1}{\overset{p-1}{⨁}}{X}_{\infty }({\omega }^i),$$并且每个特征空间有自然的 $\Lambda$-模结构. 因此根据 Iwasawa 理论, 可以定义它的特征多项式.

定理 2.1 ($\mathbb{Q}$ 上的 Iwasawa 主猜想). 对于偶数 $0<k<p-1$, 有如下的理想相等$${\left(f_{{\omega }^k}\right)}_{\Lambda }={\left({\mathrm{char}}_{\Lambda }\left(X_{\infty }({\omega }^{p-k})\right)\right)}_{\Lambda }.$$

3证明

(...)

等价刻画

定理 2.1 的两边都是不好刻画的对象, 所以证明的第一步应该寻找一个更好的等价形式.

记 $E_{p^n}$ 为 $\mathbb{Q}({\mu }_{p^n})$ 的单位群, $C_{p^n}$ 为 $\mathbb{Q}({\mu }_{p^n})$ 中的分圆单位. ${\mathcal{E}}_{p^n},{\mathcal{C}}_{p^n}$ 为 $E_{p^n},C_{p^n}$ 在 ${\mathbb{Q}}_p({\mu }_{p^n})$ 中的闭包. 最后$${\mathcal{E}}_{\infty }:=\lim {\mathcal{E}}_{p^n},{\mathcal{C}}_{\infty }:=\lim {\mathcal{C}}_{p^n}.$$利用 Coleman 理论, 类域论和对偶理论可以得到定理 2.1 的等价刻画:

定理 3.1 ($\mathbb{Q}$ 上的 Iwasawa 主猜想, 无 $L$-函数版本). 对于偶数 $0<k<p-1$, 有$${\left({\mathrm{char}}_{\Lambda }\left({\mathcal{E}}_{\infty }({\omega }^k)/{\mathcal{C}}_{\infty }({\omega }^k)\right)\right)}_{\Lambda }={\left({\mathrm{char}}_{\Lambda }\left(X_{\infty }({\omega }^k)\right)\right)}_{\Lambda }.$$

但是类数公式给出了$$\#\left(A_n^{+}\right)=\#\left({\mathcal{E}}_n/{\mathcal{C}}_n\right),$$也可以翻译成: 存在 $c$ 使得 $\forall n$,$$c^{-1}\le \frac{{\left(\Lambda /f\Lambda \right)}_{{\Gamma }_n}}{{\left(\Lambda /g\Lambda \right)}_{{\Gamma }_n}}\le c,$$(1)其中 $f={\prod }_{k\text{ 偶}}{\mathrm{char}}_{\Lambda }\left({\mathcal{E}}_{\infty }({\omega }^k)/{\mathcal{C}}_{\infty }({\omega }^k)\right)$, $g={\prod }_{k\text{ 偶}}{\mathrm{char}}_{\Lambda }\left(X_{\infty }({\omega }^k)\right)$.

用 ${\mathbb{Z}}_p$-扩张的 Iwasawa 理论, 可以得到:

任意一边的整除关系, 即 $f\mid g$ 或 $g\mid f$, 加上条件 (1) 会迫使 $f=g$.

故要完成主定理的证明, 只需证明以下两件事之一:

1.	对任意偶数 $0<k<p-1$, $${\mathrm{char}}_{\Lambda }\left({\mathcal{E}}_{\infty }({\omega }^k)/{\mathcal{C}}_{\infty }({\omega }^k)\right)|{\mathrm{char}}_{\Lambda }\left(X_{\infty }({\omega }^k)\right).$$
2.	或者, 对任意偶数 $0<k<p-1$, $${\mathrm{char}}_{\Lambda }\left(X_{\infty }({\omega }^k)\right)|{\mathrm{char}}_{\Lambda }\left({\mathcal{E}}_{\infty }({\omega }^k)/{\mathcal{C}}_{\infty }({\omega }^k)\right).$$

Mazur–Wiles 的证明

Mazur 和 Wiles 在 1984 年推广了 Ribet 的模形式方法, 用一篇近 150 页的文章解决了第一个整除关系, 即$${\mathrm{char}}_{\Lambda }\left({\mathcal{E}}_{\infty }({\omega }^k)/{\mathcal{C}}_{\infty }({\omega }^k)\right)|{\mathrm{char}}_{\Lambda }\left(X_{\infty }({\omega }^k)\right).$$

Rubin 的证明

Rubin 在 1990 年推广了 Thaine 与 Kolyvagin 的工作, 给出了主猜想的一个更初等简洁的证明. 他证明的是第二个整除关系, 即$${\mathrm{char}}_{\Lambda }\left(X_{\infty }({\omega }^k)\right)|{\mathrm{char}}_{\Lambda }\left({\mathcal{E}}_{\infty }({\omega }^k)/{\mathcal{C}}_{\infty }({\omega }^k)\right).$$(2)首先明确一些记号:

1.	以 $\chi$ 记 ${\omega }^k$, 以 $f_{\chi },g_{\chi }$ 分别记 ${\mathrm{char}}_{\Lambda }\left(X_{\infty }({\omega }^k)\right)$ 和 ${\mathrm{char}}_{\Lambda }\left({\mathcal{E}}_{\infty }({\omega }^k)/{\mathcal{C}}_{\infty }({\omega }^k)\right)$. 记 $f_{\chi }$ 的伪同构标准型为$$\Lambda /f_{\chi }\simeq \underset{i=1}{\overset{k}{⨁}}\Lambda /f_i.$$
2.	固定 Iwasawa 塔的一级 $n$, 记 $F=\mathbb{Q}({\mu }_{p^n}{)}^{+}$, $G=\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$ $A=A_n$, $\mathcal{E}={\mathcal{E}}_n$, $\mathcal{C}={\mathcal{C}}_n$.
3.	记 ${\mathcal{E}}^1={\mathcal{E}}_n^1$ 为 $\mathrm{mod}\mathfrak{p}$ 余 $1$ 的整体单位的闭包, ${\mathcal{C}}^1={\mathcal{C}}_n^1$ 为 $\mathrm{mod}\mathfrak{p}$ 余 $1$ 的分圆单位的闭包. 显然在做商意义下我们可以以 ${\mathcal{E}}^1$, ${\mathcal{C}}^1$ 替代 $\mathcal{E}$, $\mathcal{C}$.
4.	固定 $t=p^r$ 以及和 $(t,F)$ 关联的集合 $S$. 记 $\{{\kappa }_r{\}}_{r\in S}$ 为 Kolyvagin 系. 记 $l\in S$ 为素数, ${\mathcal{O}}_F\supset \mathfrak{l}\mid l$. 记 ${\pi }_l$ 为 Kolyvagin 映射.
5.	定义 $v_{l,\chi }:F^{\times }/F^{\times t}\to {\Lambda }_n/t{\Lambda }_n$ 为唯一满足下面条件的 ${\Lambda }_n$-同态: $$v_{l,\chi }(w)e(\chi )\mathfrak{l}=e(\chi )[w{]}_l.$$

(2) 的证明. 通过引理

$\square$

引理 3.2. 给定信息:

1.	$\mathfrak{a}\in \mathrm{Cl}F$;
2.	$W$ 是 $F^{\times }/F^{\times t}$ 中的有限 $G$-模, $\psi :W\to \left(\mathbb{Z}/t\mathbb{Z}\right)[G]$ 是 $G$-等变映射.

我们可以找到:

1.	$\mathfrak{l}\in \mathfrak{a}$, $\mathfrak{l}\mid l\in S$;
2.	$[W{]}_l=0$, 并且存在一个 $u\in \left(\mathbb{Z}/t\mathbb{Z}\right)$ 使得 ${\pi }_l(w)=u\psi (w)\mathfrak{l}$ 对所有 $w\in W$ 成立.

引理 3.3. 存在 $\Lambda$ 中有限指标的理想 $I$, 使得 $\forall \eta \in I$ 以及 $\forall n$, 存在 ${\Lambda }_n$-模同态 ${\theta }_{n,\chi }:{\mathcal{E}}_n^1(\chi )\to {\Lambda }_n$ 使得 ${\theta }_{n,\chi }({\mathcal{C}}_n^1(\chi ))=\eta g_{\chi }{\Lambda }_n$.

引理 3.4. 存在 $\Lambda$ 中有限指标的理想 $J$, 和对任意 $n$ 有一组 ${\mathfrak{a}}_1,\cdots ,{\mathfrak{a}}_k\in A_n(\chi )$, 使得$$J{\mathrm{Ann}}_{\frac{A_n(\chi )}{{\Lambda }_n⟨{\mathfrak{a}}_1,\cdots ,{\mathfrak{a}}_{i-1}⟩}}({\mathfrak{a}}_i)\subset f_i{\Lambda }_n.$$

引理 3.5. 现在固定 $n,r,l,\mathfrak{l}$ 如上. 设 $B(\chi )$ 为 $A(\chi )$ 中被 $\mathfrak{p}\mid \frac{r}{l}$ 生成的子模. 设 $W={\Lambda }_n⟨e(\chi ){\kappa }_r⟩$. 设有 $\eta ,f\in {\Lambda }_n$ 使得:

1.	$$\eta {\mathrm{Ann}}_{A(\chi )/B(\chi )}\left([e(\chi )\mathfrak{l}]\right)\subset f{\Lambda }_n;$$
2.	$$t\ge \#\left(A(\chi )\right)\cdot \#\left(\frac{{\Lambda }_n/t{\Lambda }_n}{{\Lambda }_n[e(\chi ){\kappa }_r{]}_l}\right).$$

则存在 ${\Lambda }_n$-模同态 $\psi :W\to {\Lambda }_n/t{\Lambda }_n$ 使得$$f\psi (e(\chi ){\kappa }_r)=\eta v_{\mathfrak{l},\chi }({\kappa }_r).$$

4应用

(...)

5推广

(...)

6相关论题

•	Weil 猜想
•	Iwasawa 理论
•	Birch–Swinnerton-Dyer 猜想
•	Euler 系 术语翻译 Iwasawa 主猜想 • 英文 Iwasawa main conjecture