Jacobi 簇

代数曲线 $X$ 的 Jacobi 簇 $J(X)$ 是从它构造的一个代数簇, 它是 $X$ 上的 $0$ 次线丛的模空间, 也是 $X$ 的 Picard 群中次数为 $0$ 的部分 ${\mathrm{Pic}}^0(X)$. 由此可知道, $J(X)$ 是一个 Abel 簇, 其群结构由线丛的张量积给出.

若 $X$ 是亏格 $g$ 的光滑复代数曲线, 则 $J(X)$ 同构于 $g$ 维复环面 ${\mathbb{C}}^g/\Lambda$, 其中 $\Lambda \subset {\mathbb{C}}^g$ 为秩 $2g$ 的晶格.

1定义

一般定义

定义 1.1. 代数曲线 $X$ 的 Jacobi 簇 $J(X)$ 定义为其 Picard 簇 ${\mathrm{Pic}}^0(X)$, 即 Picard 概形 $\mathrm{Pic}(X)$ 中单位元所在的连通分支: $$J(X)={\mathrm{Pic}}^0(X).$$

若 $X$ 光滑, 则该连通分支也就是 Picard 群中所有 $0$ 次线丛构成的子群. 对一般的 $X$, 该连通分支由在 $X$ 的每个不可约分支上次数均为 $0$ 的线丛构成.

对光滑复曲线

若 $X$ 是亏格 $g$ 的光滑复代数曲线, 则 $J(X)$ 可以如下构造. 定义映射 $i:H_1(X;\mathbb{Z})\to H^0(X,{\Omega }_X^1{)}^{\vee }$ 为$$i([\gamma ]):\omega \mapsto {\int }_{\gamma }\omega ,$$其中 $\gamma$ 为 $X$ 上的闭曲线, $\omega \in H^0(X,{\Omega }_X^1)$ 为 $X$ 上的全纯 $1$-形式. 定义$$J(X)=H^0(X,{\Omega }_X^1{)}^{\vee }/H_1(X;\mathbb{Z}).$$注意到由 Serre 对偶, 有 $H^0(X,{\Omega }_X^1{)}^{\vee }\simeq H^1(X,{\mathcal{O}}_X)\simeq {\mathbb{C}}^g$, 而 $H_1(X;\mathbb{Z})\simeq {\mathbb{Z}}^{2g}$ 为其中的晶格, 故 $J(X)$ 同构于复 $g$ 维环面.

我们来证明这样定义出的 $J(X)$ 与 ${\mathrm{Pic}}^0(X)$ 一样. 由指数正合列诱导的长正合列$$\cdots \to H^1(X;\mathbb{Z})\stackrel{\alpha }{\to }{H}^1(X,{\mathcal{O}}_X)\stackrel{\beta }{\to }{H}^1(X,{\mathcal{O}}_X^{\times })\stackrel{\delta }{\to }{H}^2(X;\mathbb{Z})\to \cdots ,$$而 $\alpha$ 就是之前的映射 $i$ 复合上 Poincaré 对偶 $H^1(X;\mathbb{Z})\simeq H_1(X;\mathbb{Z})$, 故$$\begin{array}{rl}J(X)& \simeq H^0(X,{\Omega }_X^1{)}^{\vee }/H_1(X;\mathbb{Z})\\ & \simeq H^1(X,{\mathcal{O}}_X)/H^1(X;\mathbb{Z})\\ & \simeq \mathrm{im}\beta =\ker \delta \\ & \simeq {\mathrm{Pic}}^0(X),\end{array}$$其中, 我们有典范同构 $H^1(X,{\mathcal{O}}_X^{\times })\simeq \mathrm{Pic}(X)$, 且映射 $\delta$ 将线丛映到其次数.

2性质

3相关概念

•	Abel–Jacobi 映射

术语翻译

Jacobi 簇 • 英文 Jacobian variety • 德文 Jacobi-Varietät (f) • 法文 variété jacobienne (f)