Ken Brown 引理

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

Ken Brown 引理是处理带余纤维化的范畴及其局部化的常用引理, 名称来自数学家 Kenneth Brown.

1陈述与证明

Ken Brown 引理的常见现代形式如下:

定理 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $\mathrm{cof}\mathcal{C}$ 和 $W$ 是 $\mathcal{C}$ 的宽子范畴, 其中映射分别称为余纤维化和弱等价, 分别记作 $\rightarrowtail$ 和 $\stackrel{\sim }{\to }$, 满足:

1.	$\mathcal{C}$ 有始对象, 记作 $\varnothing$, 且对任意 $x\in \mathcal{C}$, $\varnothing \to x$ 是余纤维化.
2.	对任意余纤维化 $z\rightarrowtail x$ 以及任意态射 $z\to w$, 推出 $y=x{\bigsqcup }_{z}w$ 存在, 且 $w\to y$ 也是余纤维化. 简而言之, 余纤维化对推出封闭.
3.	弱等价满足三选二性质: 对 $\mathcal{C}$ 中态射 $f:x\to y$ 和 $g:y\to z$, 如 $f$、$g$、$g\circ f$ 三者中有两者属于 $W$, 则第三者也属于 $W$.
4.	$\mathcal{C}$ 中任意态射 $x\to y$ 均可分解为余纤维化 $x\rightarrowtail y^{\prime }$ 复合弱等价 $y^{\prime }\stackrel{\sim }{\to }y$.

把既是余纤维化又是弱等价的态射称为平凡余纤维化, 构成的宽子范畴记作 $\mathrm{cof}W$. 则自然的函子 $\mathcal{C}[(\mathrm{cof}W{)}^{-1}]\to \mathcal{C}[W^{-1}]$ 是范畴等价.

证明. 任取弱等价 $f:x\stackrel{\sim }{\to }y$, 我们需要证明它在 $\mathcal{C}[(\mathrm{cof}W{)}^{-1}]$ 中已经是同构. 考虑映射$$(f,{\mathrm{id}}_y):x\bigsqcup y\to y,$$用条件 4 把它分解为 $x\bigsqcup y\rightarrowtail z\stackrel{\sim }{\to }y$. 由条件 1、2, 复合映射 $x\rightarrowtail x\bigsqcup y\rightarrowtail z$ 与 $y\rightarrowtail x\bigsqcup y\rightarrowtail z$ 都是余纤维化; 由条件 3, 它们都是弱等价; 故它们都是平凡余纤维化, 在 $\mathcal{C}[(\mathrm{cof}W{)}^{-1}]$ 中都是同构. 由于 $z\stackrel{\sim }{\to }y$ 是 $y\rightarrowtail z$ 的左逆, 而 $f$ 是 $x\rightarrowtail z$ 复合 $z\stackrel{\sim }{\to }y$, 所以 $f$ 在 $\mathcal{C}[(\mathrm{cof}W{)}^{-1}]$ 中也是同构.

$\square$

2推论

记号和条件承定理 1.1.

命题 2.1. 设$$zxwyigfj$$是如条件 2 所述的推出方块. 则它在 $\mathcal{C}[W^{-1}]$ 中仍是推出方块.

由命题 2.1 和条件 4 立得如下推论:

推论 2.2. $\mathcal{C}[W^{-1}]$ 有任意有限余极限.

3相关概念

•	带余纤维化的范畴
•	弱等价范畴

术语翻译

Ken Brown 引理 • 英文 Ken Brown’s lemma