余极限

余极限是范畴论中的一种万有构造, 是极限的对偶. 给定范畴 $\mathcal{C}$ 及其中一个图表, 例如$$K=\left(xyz\right),$$该图表的余极限是一个对象 $k\in \mathcal{C}$, 使得对任何其它对象 $w\in \mathcal{C}$, 都有一一对应$$\{K\text{ 到 }w\text{ 的映射}\}\simeq \{k\text{ 到 }w\text{ 的映射}\},$$这里, $K$ 到 $w$ 的映射是指 $\mathcal{C}$ 中形如$$yxwz$$的交换图. 给定任何上述图表, 都能找到唯一的映射 $k\to w$, 使得指向 $w$ 的所有箭头都可以分解经过该映射:$$yxkwz\exists !$$

上面这种形状的余极限称为推出. 除此之外, 我们也可以考虑各种不同的余极限. 例如, 若$$K=\left(xy\right),$$也就是一个没有箭头的图表, 则其余极限就是范畴中的余积 $x\bigsqcup y$. 若 $K$ 是空图表, 则其余极限就是范畴中的始对象.

并不是在任何范畴中, 所有余极限都存在. 其中余极限都存在的范畴称为余完备范畴. 例如, 集合范畴、拓扑空间范畴等等都是余完备范畴. 也就是说, 可以在这些范畴中取任意的余极限.

1定义

定义 1.1 (余极限). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $J$ 是小范畴. 设 $K:J\to \mathcal{C}$ 是函子, 我们将其视为 $\mathcal{C}$ 中的 “$J$ 形图表”.

则 $K$ 的余极限, 如果存在, 是指以下信息:

•	对象 $x\in \mathcal{C}$.

•	对每个 $i\in J$, 有一个态射 $k_i:K(i)\to x$, 有时称为含入.

满足以下条件:

•	对任何 $i,j\in J$ 及 $a\in J(i,j)$, 都有交换图$$K(i)xK(j)\text{ .}K(a)k_i{k}_j$$

并且满足以下万有性质:

•	对任何 $x^{\prime }\in \mathcal{C}$, 若给定一族态射 $k_i^{\prime }:K(i)\to x^{\prime }$, 并对任何如上所述的 $i,j,a$, 都满足交换图$$K(i)x^{\prime }K(j)\text{ ,}K(a)k_i^{\prime }{k}_j^{\prime }$$则存在唯一的态射 $f:x\to x^{\prime }$, 使得对任意 $i\in J$, 都有交换图$$K(i)x{x}^{\prime }\text{ .}{k}_i^{\prime }{k}_{i}f$$

此时, 常常直接将对象 $x$ 称为 $K$ 的余极限, 并记为 $\mathrm{colim}K$.

注 1.2. 上述定义可以等价叙述如下:

•	记 $\mathsf{Fun}(J,\mathcal{C})$ 为函子范畴. 则函子 $K:J\to \mathcal{C}$ 的余极限是逗号范畴$$\ast \underset{\mathsf{Fun}(J,\mathcal{C})}{⋌}\mathcal{C}$$的始对象. 这里 $\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}(J,\mathcal{C})$ 的函子是将 $\mathcal{C}$ 的对象映到相应的常值函子; $\ast \to \mathsf{Fun}(J,\mathcal{C})$ 的函子映到 $K$.

2例子

我们沿用定义 1.1 的记号.

•	空图表的余极限是范畴的始对象.

•	离散图表 (指没有箭头的图表) 的余极限就是范畴中的余积.

•	若 $J$ 有终对象, 则 $J$ 形图表的余极限就是其终对象的取值.

•	形如 $x\rightrightarrows y$ 的图表的余极限称为余等子.

•	形如 $x\leftarrow z\to y$ 的图表的余极限称为推出.

•	若 $J$ 是有向集, 则 $J$ 形图表的余极限称为正向极限. 例如, 形如 $x_1\to x_2\to \cdots$ 的图表的余极限就属于这一类余极限. 此时, 也记该余极限为$$\underset{⟶}{\lim }{x}_i.$$

3相关概念

术语翻译

余极限 • 英文 colimit • 德文 Kolimes (m) • 法文 colimite (f)