Klein–Gordon 场

约定. 在本文中,

• 全时空为 ${\mathbb{R}}^{n+1}$, 第 0 个分量表示时间, 带有平坦度量 $(+,-,\cdots ,-)$.
• 采用自然单位制, 即光速 $c$ 与约化 Planck 常数 $\hslash$ 均设定为 $1$.

Klein–Gordon 场是一种量子场, 以描述单一种有质量、自旋 $0$、无相互作用的 Bose 子, 它是个标量场, 是自由量子场论最简单的例子. Klein–Gordon 场有实或复两种, 分别表示反粒子是或不是它本身的粒子.

如果粒子质量为 $0$, 相应的场论会有很大区别, 故不在本文讨论范围之内.

1定义

定义 1.1 (实 Klein–Gordon 场). $n+1$ 维质量 $m$ 的实 Klein–Gordon 场对每个 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中的点 $x$ 指定一个从质量 $m>0$ 的 Bose 子的 Fock 空间到它本身的算子$$\phi (x)=\int \frac{d^n\mathbf{p}}{(2\pi {)}^n}\frac{1}{\sqrt{2p^0}}(a_{\mathbf{p}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}p\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}p\cdot x})$$其中 $p^0=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+{\mathbf{m}}^2}$, $p=(p^0,\mathbf{p})$, $\cdot$ 表示 Lorentz 度量下的内积. $a_{\mathbf{p}}$, $a_{\mathbf{p}}^{†}$ 表示湮灭和产生动量 $p$ 的粒子的算子.

定义 1.2 (复 Klein–Gordon 场). $n+1$ 维质量 $m$ 的复 Klein–Gordon 场有两个, 都对每个 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中的点 $x$ 指定一个从质量 $m$ 的 Bose 子以及它的反粒子的 Fock 空间到它本身的算子$$\phi (x)=\int \frac{d^n\mathbf{p}}{(2\pi {)}^n}\frac{1}{\sqrt{2p^0}}(a_{\mathbf{p}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}p\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{c,†}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}p\cdot x})$$$${\phi }^{\ast }(x)=\int \frac{d^n\mathbf{p}}{(2\pi {)}^n}\frac{1}{\sqrt{2p^0}}(a_{\mathbf{p}}^c{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}p\cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{†}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}p\cdot x})$$其中 $p^0$, $p$, $\cdot$ 同上, $a_{\mathbf{p}}$, $a_{\mathbf{p}}^{†}$ 表示湮灭和产生动量 $\mathbf{p}$ 的粒子的算子, $a_{\mathbf{p}}^c$, $a_{\mathbf{p}}^{c,†}$ 表示湮灭和产生动量 $\mathbf{p}$ 的反粒子的算子.

注 1.3. 在物理中可以认为复场 $\phi (x)$ 的意义是在时空 $x$ 点处产生一个反粒子或湮灭一个粒子; 而 ${\phi }^{\ast }(x)$ 的意义则是在时空 $x$ 点处产生一个粒子或湮灭一个反粒子. 当然对于实场则无粒子与反粒子之别.

2性质

基本性质

Klein–Gordon 场满足自由量子场所要求的基本性质.

命题 2.1 (Lorentz 协变性). Klein–Gordon 场满足标量场相应的 Poincaré 协变性, 即对 Lorentz 变换 $\Lambda$ 有$$U(\Lambda ,a)\phi (x)U(\Lambda ,a{)}^{-1}=\phi (\Lambda x+a)$$其中 $U(\Lambda ,a)$ 为在变换 $x\mapsto \Lambda x+a$ 之下 Fock 空间相应的变换.

命题 2.2 (因果性). Klein–Gordon 场满足因果性, 即若 $(x-y{)}^2<0$ ($x^2:=x\cdot x$), 对实场, 有交换子$$[\phi (x),\phi (y)]=0,$$对复场, 有$$[\phi (x),{\phi }^{\ast }(y)]=0.$$

并且可以证明, 如果要求场由产生和湮灭算子的线性组合构成, 且满足上述二条件, 则必为定义中所呈现的形式.

注 2.3. Lorentz 协变性的意义较为明了. 因果性则是说如果一点在另一点的光锥之外, 在两点处发生的事情互不干扰, 这是为了符合信息的传递速度不能超过光速这一物理直观.

经典方程

命题 2.4. 在经典意义下, Klein–Gordon 场满足方程$$({\square }^2+m^2)\phi =0,$$称为 Klein–Gordon 方程. 实场的作用量密度是$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\left(-m^2{\phi }^2+({\partial }_{\mu }\phi )({\partial }^{\mu }\phi )\right),$$复场的作用量密度为$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\left(-m^2{\phi }^{\ast }\varphi +({\partial }_{\mu }{\phi }^{\ast })({\partial }^{\mu }\phi )\right),$$

对称性

Klein–Gordon 场具有很好的对称性, 并有相应的守恒流.

命题 2.5. Klein–Gordon 场满足平移对称性, 即在平移变换$${\phi }^{\prime }(x)=\phi (x-a),x^{\prime }=x+a$$下作用量不变. 相应的守恒流为: 对实场$$j^{\mu }=T_{\nu }^{\mu }{a}^{\nu }=(2({\partial }^{\mu }\phi )({\partial }_{\nu }\phi )-{\delta }_{\nu }^{\mu }\mathcal{L})a^{\nu }$$对复场$$j^{\mu }=T_{\nu }^{\mu }{a}^{\nu }=2(({\partial }^{\mu }{\phi }^{\ast })({\partial }_{\nu }\phi )+({\partial }^{\mu }\phi )({\partial }_{\nu }{\phi }^{\ast })-{\delta }_{\nu }^{\mu }\mathcal{L})a^{\nu }$$

这里 $T_{\nu }^{\mu }$ 即为 Klein–Gordon 场的能动张量.

命题 2.6. Klein–Gordon 场满足 Lorentz 对称性, 即在 Lorentz 变换下 ($\Lambda \in \mathfrak{o}(1,n)$) $${\phi }^{\prime }(x)=\phi ({\mathrm{e}}^{-\Lambda }x),x^{\prime }=e^{\Lambda }x$$作用量不变. 相应的守恒流为$$j^{\mu }=T_{\nu }^{\mu }{\Lambda }_{\alpha }^{\nu }{x}^{\alpha }$$

除此之外, 复 Klein–Gordon 场还有整体规范对称性.

命题 2.7. 复 Klein–Gordon 场有整体规范对称性, 即在变换$${\phi }^{\prime }={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }\phi ,({\phi }^{\ast }{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\alpha }\phi ,x^{\prime }=x$$下作用量不变, 相应的守恒流为$$j^{\mu }=\mathrm{i}\alpha ({\phi }^{\ast }{\partial }^{\mu }\phi -\phi {\partial }^{\mu }{\phi }^{\ast })$$

能量、动量与荷

由上述计算可知 Klein–Gordon 场的 (典范) 能动张量为 ($\eta$ 为 Lorentz 度量)$$T^{\mu \nu }=2({\partial }^{\mu }\phi )({\partial }^{\nu }\phi )-{\eta }^{\mu \nu }\mathcal{L}.$$由此可定义能量, 动量算子.

命题 2.8. Klein–Gordon 场的能量、动量算子为 (在正规乘积下): 对实场$$P^{\nu }=(E,{\mathbf{P}}^i)=\int d^{n}x{T}^{0\nu }=\int \frac{d^n\mathbf{p}}{(2\pi {)}^n}{p}^{\nu }{a}_{\mathbf{p}}^{†}{a}_{\mathbf{p}}$$对复场$$P^{\nu }=\int \frac{d^n\mathbf{p}}{(2\pi {)}^n}{p}^{\nu }(a_{\mathbf{p}}^{†}{a}_{\mathbf{p}}+a_{\mathbf{p}}^{c,†}{a}_{\mathbf{p}}^c)$$

可以看出, 态 $a_{\mathbf{p}}^{†}|0⟩$ 是 $P^{\nu }$ 的特征值为 $p^{\nu }$ 的特征向量, 即此态能量-动量为 $p$, 这也与 “产生动量 $\mathbf{p}$ 的粒子” 的直观相符.

此外对复场, 整体规范对称性引入了荷算子

$$Q=\int d^{n}x\mathrm{i}\alpha ({\phi }^{\ast }{\partial }_0\phi -\phi {\partial }_0{\phi }^{\ast })=\int \frac{d^n\mathbf{p}}{(2\pi {)}^n}\alpha (a_{\mathbf{p}}^{c,†}{a}_{\mathbf{p}}^c-a_{\mathbf{p}}^{†}{a}_p)$$

可以看出, 交换子 $[Q,a_p^{c,†}]=-[Q,a_p^{†}]=\alpha$, 即反粒子的荷是 $\alpha$, 粒子的荷是 $-\alpha$.

多点函数与 $S$ 矩阵

(...)

3相关概念

•	Dirac 场
•	Maxwell 场
•	无质量 Klein–Gordon 场
•	${\varphi }^4$ 理论

参考文献

[W95]

S. Weinberg (1995). The Quantum Theory of Fields. 1. Cambridge University Press. ISBN 978-0521550017.

术语翻译

Klein–Gordon 场 • 英文 Klein–Gordon field • 德文 Klein–Gordon-Feld • 法文 champ de Klein–Gordon