拓扑量子场论

拓扑量子场论, 有时简称拓扑场论, 是一类较简单的量子场论. 在拓扑量子场论中, 我们要求极强的对称性, 即要求时空的性质在任何微分同胚下都不变. 这导致满足这一要求的理论极其特殊, 因而常常能被一些简单的信息完全描述. 例如, 配边猜想就是著名的这类结论.

拓扑量子场论是为数不多的具有严格数学定义的量子场论之一. 拓扑量子场论带有丰富的数学结构, 是高阶范畴论, 特别是 $(\infty ,n)$-范畴理论的重要应用.

1想法

在量子场论中, 由函子量子场论的观点, 假设时空是 $n$ 维流形 $X$, 则 $X$ 的某些 $(n-1)$ 维子流形可以视为某一参考系下, 处于某个固定时间点的整个空间. 在该参考系中, 在该时间, 系统所有可能的量子态构成态空间, 通常是 Hilbert 空间. 时间演化给出这些 $(n-1)$ 维子流形间的配边, 也给出相应态空间之间的算子. 场论的信息就由这个从配边到算子的对应来描述. 我们也常常直接考虑所有 $(n-1)$ 维流形及其间的配边, 而不考虑向某个具体时空流形的嵌入.

在拓扑量子场论中, 我们要求场论的性质在任何微分同胚下不变. 也就是说, 时间演化对应的态空间之间的算子只取决于配边的微分同胚类. 换言之, 延长、缩短时间并不会改变时间演化算子, 故而系统只具有真空态. 相较而言, 非拓扑的场论常常取决于流形上的 Riemann 度量或伪 Riemann 度量等信息.

在这一限制条件下, 拓扑量子场论给出了从某个合适的配边范畴到某个合适的向量空间范畴的函子. 这使得我们可以在数学上简洁地描述该场论.

2定义

拓扑量子场论有多种不同变形. 我们介绍两种, 即 “普通的” 和 “扩展的” 拓扑量子场论. 前者只涉及某个固定维数的流形的配边, 可以通过普通的范畴论来定义. 而后者则涉及各个不同维数流形的配边, 需要借助高阶范畴论才能定义.

需要注意, 在文献中, 拓扑量子场论有多种不同的定义, 例如, 有时要求其带有一些额外结构. 我们只介绍较具一般性的几种定义, 而不一一列举不同情况.

拓扑量子场论

定义 2.1 (配边范畴). 设 $n>0$ 为整数. 定义 $n$ 维配边范畴 ${\mathsf{Cob}}_n$ 如下:

•	其对象为定向 $(n-1)$ 维紧光滑流形.

•	其态射为这些光滑流形间的 $n$ 维配边的微分同胚类.

•	其态射复合为配边的衔接.

流形的无交并赋予 ${\mathsf{Cob}}_n$ 对称幺半范畴的结构, 其单位对象为 $\varnothing$.

定义 2.2 (拓扑量子场论). 设 $\mathcal{C}$ 为对称幺半范畴. 则取值于 $\mathcal{C}$ 的 $n$ 维拓扑量子场论是指对称幺半函子$$Z:{\mathsf{Cob}}_n⟶\mathcal{C}.$$

扩展拓扑量子场论

设 $n>0$ 为整数. 则有配边 $(\infty ,\mathbf{n})$-范畴 ${\mathsf{Cob}}_{(\infty ,n)}$, 它是以下描述的 $(\infty ,n)$-范畴:

•	其对象为定向 $0$ 维紧光滑流形.

•	其 $1$-态射为定向 $1$ 维配边.

•	其 $2$-态射为 $1$ 维配边间的定向 $2$ 维配边.

•

……

•	其 $n$-态射为定向 $n$ 维配边.

•	其 $(n+1)$-态射为微分同胚.

•	$(n+2)$-态射为微分同胚之间的同伦.

•

……

定义 2.3 (扩展拓扑量子场论). 设 $\mathcal{C}$ 为对称幺半 $(\infty ,n)$-范畴. 则取值于 $\mathcal{C}$ 的 $n$ 维扩展拓扑量子场论是指对称幺半 $(\infty ,n)$-函子$$Z:{\mathsf{Cob}}_{(\infty ,n)}⟶\mathcal{C}.$$

3例子

4分类

5相关概念

•

分解代数、分解同调

术语翻译

拓扑量子场论 • 英文 topological quantum field theory (TQFT)